有零阶导、一阶导还有二阶导？那么，这道题很可能可以用泰勒公式哦！

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f(a)=0$. 若令 $g(x)=\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(a),& x=a\\ \frac{f(x)}{x-a},& x\ne a\end{array}$, 则函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 存在一阶导数吗？如果存在，那么 $g^{\prime }(a)=?$

难度评级：

二、解析

根据泰勒公式，某函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒展开式如下：

$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\cdot (x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{(x-x_0)}^2+\cdots$$

又：

$$g^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{\frac{f(x)}{x-a}-f^{\prime }(a)}{x-a}=$$

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f^{\prime }(a)\cdot (x-a)}{(x-a{)}^2}$$

且根据泰勒公式，有：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2$$

于是：

$$f(x)=\frac{f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)\cdot (x-a{)}^2}{(x-a{)}^2}=$$

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f^{\prime }(a)\cdot (x-a)}{(x-a{)}^2}=$$

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)\cdot (x-a{)}^2-f^{\prime }(a)\cdot (x-a)}{\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)}\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(a)=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a).$$

---