荒原之梦原创解题方法：田字格分段函数融合法

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x<1\\ a,& x⩾1\end{array}$, $g(x)=\{\begin{array}{cc}b,& x<0\\ x+2,& x⩾0\end{array}$, 且 $f(x)+g(x)$ 为连续函数, 则 $a$ 和 $b$ 的值分别是多少？

难度评级：

二、解析

本题的意图很简单，就是要我们吧 $f(x)$ 和 $g(x)$ 这两个函数加到一起。

但是，由于这两个函数的分段点和分段区间不一样，因此，要加到一起就需要分清楚这两个函数之间哪些区间是重合的，哪些区间是单独的这一问题——是不是很让人头大？

其实，我们只需要画一个“田字格”（准确的说可能需要多个“田字格”）就可以非常程序化的解决这一类问题。

首先，绘制一个数轴，标记清楚两个函数分段点的相对位置（如图 01）：

接着，以分界点为依据绘制“田字格”，每个“格子”放置分段函数的一个“段”（如图 02）：

接着，我们就可以根据上图（图 02）所示，写出 $f(x)+g(x)$ 了：

$$f(x)+g(x)=\{\begin{array}{cc}b+x,& x\le 0\\ 2x+2,& 0<x<1\\ x+2+a,& x⩾1\end{array}$$

于是：

$$b+0=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(2x+2)=2\Rightarrow b=2$$

$$a+2+1=\underset{x\to 1^{-}}{lim}(2x+2)=4\Rightarrow a=1$$