三角函数积分思路：sin 与 cos 都可以统一到 tan

一、题目

$f(x)=\frac{1}{1+{\sin }^{2}x}$, $x\in [0,\pi ]$, 则 $f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上的全体原函数是（）

难度评级：

二、解析

首先进行积分运算：

$$I=\int \frac{1}{1+{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}{\frac{1}{{\cos }^{2}x}+{\tan }^{2}x}\mathrm{d}x$$

又：

$$(\tan x{)}^{\prime }={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

于是：

$$I=\int \frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{2}x}+{\tan }^{2}x}\mathrm{d}(\tan x)$$

又：

$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}+{\tan }^{2}x=\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=$$

$$1+2{\tan }^{2}x$$

于是：

$$I=\int \frac{1}{1+2{\tan }^{2}x}\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1}{1+(\sqrt{2}\tan x{)}^2}\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{1+(\sqrt{2}\tan x{)}^2}\mathrm{d}(\sqrt{2}\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)+C_0$$

其中，$C_0$ 为任意常数。

但是，由于 $\tan x$ 在点 $x=\frac{\pi }{2}$ 处没有定义，因此，我们需要将 $F(x)$ 写成分段函数的形式：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)+C_1,& 0\le x<\frac{\pi }{2}\\ 0,& x=\frac{\pi }{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)+C_2,& \frac{\pi }{2}<x⩽\pi \end{array}$$

其中，$F(\frac{\pi }{2})=0$ 纯属补充定义，我们也可以令 $F(\frac{\pi }{2})$ 等于 $1$, $2$, $3$ 或者其他数字——只是令 $F(\frac{\pi }{2})$ 等于 $0$ 更符号常规做法，而且有利于我们接下来的计算——

我们知道，$F(x)$ 是可导的，那么必然是连续的，因此：

$$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{lim}F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (+\mathrm{\infty })+C_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\pi }{2}+C_1$$

$$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{lim}F(x)=0\Rightarrow C_1=\frac{-\pi }{2\sqrt{2}}$$

$$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{lim}F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (-\mathrm{\infty })=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{-\pi }{2}+C_2$$

$$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{lim}F(x)=0\Rightarrow C_2=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$$

综上可知：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)-\frac{\pi }{2\sqrt{2}},& 0\le x\le \frac{\pi }{2}\\ 0,& x=\frac{\pi }{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)+\frac{\pi }{2\sqrt{2}},& \frac{\pi }{2}<x\le \pi \end{array}$$

于是，$f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上的全体原函数是 $F(x)+C$.

其中，$C$ 为任意常数。

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