三角函数积分思路：sin 与 cos 都可以统一到 tan

一、题目

$f(x)=\frac{1}{1+\sin ^{2} x}$, $x \in[0, \pi]$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的全体原函数是（）

难度评级：

二、解析

首先进行积分运算：

$$
I=\int \frac{1}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\int \frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}}{\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x
$$

又：

$$
(\tan x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos ^{2} x}
$$

于是：

$$
I=\int \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)
$$

又：

$$
\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan ^{2} x=\frac{1+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} =
$$

$$
1+2 \tan ^{2} x
$$

于是：

$$
I=\int \frac{1}{1+2 \tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{1+(\sqrt{2} \tan x)^{2}} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{1+(\sqrt{2} \tan x)^{2}} \mathrm{~ d} (\sqrt{2} \tan x) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x)+C_{0}
$$

其中，$C_{0}$ 为任意常数。

但是，由于 $\tan x$ 在点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处没有定义，因此，我们需要将 $F(x)$ 写成分段函数的形式：

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x)+C_{1}, & 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ 0, & x=\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x)+C_{2}, & \frac{\pi}{2}<x \leqslant \pi\end{array}\right.
$$

其中，$F(\frac{\pi}{2}) = 0$ 纯属补充定义，我们也可以令 $F(\frac{\pi}{2})$ 等于 $1$, $2$, $3$ 或者其他数字——只是令 $F(\frac{\pi}{2})$ 等于 $0$ 更符号常规做法，而且有利于我们接下来的计算——

我们知道，$F(x)$ 是可导的，那么必然是连续的，因此：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (+\infty)+C_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2}+C_{1}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} F(x)=0 \Rightarrow C_{1}=\frac{-\pi}{2 \sqrt{2}}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (-\infty)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{-\pi}{2}+C_{2}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} F(x)=0 \Rightarrow C_{2}=\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}
$$

综上可知：

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x)-\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0, & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x)+\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}, & \frac{\pi}{2}<x \leq \pi\end{array}\right.
$$

于是，$f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的全体原函数是 $F(x)+C$.

其中，$C$ 为任意常数。

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