你能找到下面哪个反常积分是发散的吗

一、题目

下列反常积分发散的是哪个？

(A) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$.

(B) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$.

(C) $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}}
\mathrm{~d} x$.

(D) $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$.

难度评级：

二、解析

A 选项

对于 (A) 选项，我们可以通过直接进行积分运算的方式判断：

已知：

$$
x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow
$$

于是可知，$x = 0$ 为其瑕点，因此：

$$
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x=\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x+ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x
$$

其中：

$$
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x = \int_{0}^{1} \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{2 \tan \frac{x}{2} \cos ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\left(\tan \frac{x}{2}\right)^{\prime}=\frac{\frac{1}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}} \Rightarrow
$$

$$
I = \int_{0}^{1} \frac{d\left(\tan \frac{x}{2}\right)}{\tan \frac{x}{2}}=\left.\ln \tan \frac{x}{2}\right|_{0^{+}} ^{1}=
$$

$$
\ln \tan \frac{1}{2}-\ln 0=\infty
$$

于是可知，$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x$ 发散。

也可以通过“比阶判别法+常见反常积分敛散公式”的方法判断：

已知：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sin x} / \frac{1}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} / \frac{1}{x}=1 \neq 0
$$

又知，常见的一个判断反常积分敛散性的公式为：

$$
\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~ d} x = \left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p<1 \\ 发散, \quad p \geqslant 1\end{array}\right. \Rightarrow
$$

$$
a=0, \quad b=1, \quad p=1 \quad \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 发散
$$

于是，由比较判别法的极限形式可知：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 发散
$$

B 选项

$$
\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~ d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\left.\arcsin x\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\pi
$$

C 选项

$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

C 选项中的被积函数没有原函数，上面的结论直接来自《泊松公式》。

D 选项

$$
\int_{02}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\int_{02}^{+\infty} \frac{d(\ln x)}{\ln ^{2} x}=
$$

$$
-\left.\frac{1}{\ln x}\right|_{2} ^{+\infty}=-\left(0-\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}
$$

综上可知，B, C, D 选项都收敛，只有 A 选项发散。

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