这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解

一、题目

$I = lim_{x \to 0} \frac{x \sin x^{2} - 2 (1 - \cos x) \sin x}{x^{4}} = ?$

难度评级：

已知， $\sin x$ 在 $x = 0$ 处的麦克劳林公式为：

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})$

又：

$x \sin x^{2} - 2 \sin x + 2 \sin x \cos x =$

$x \sin x^{2} - 2 \sin x + \sin 2 x$

且：

$x \sin x^{2} = x (x^{2}) + o (x^{4})$

$- 2 \sin x = - 2 (x - \frac{x^{3}}{6}) + o (x^{4})$

$\sin 2 x = (2 x - \frac{(2 x)^{3}}{6}) + o (x^{4})$

于是：

$x \sin x^{2} - 2 \sin x + \sin 2 x =$

$x^{3} - 2 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{8 x^{3}}{6} + o (x^{4}) =$

$\frac{4}{3} x^{3} - \frac{4}{3} x^{3} + o (x^{4}) \Rightarrow$

$I = \frac{o (x^{4})}{x^{4}} = 0.$

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