这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

已知，$\sin x$ 在 $x = 0$ 处的麦克劳林公式为：

$$
\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{4}\right)
$$

又：

$$
x \sin x^{2}-2 \sin x+2 \sin x \cos x=
$$

$$
x \sin x^{2}-2 \sin x+\sin 2 x
$$

且：

$$
x \sin x^{2}=x(x^{2}) + o(x^{4})
$$

$$-2 \sin x=-2\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+o\left(x^{4}\right)
$$

$$
\sin 2 x=\left(2 x-\frac{(2 x)^{3}}{6}\right)+o\left(x^{4}\right)
$$

于是：

$$
x \sin x^{2}-2 \sin x+\sin 2 x=
$$

$$
x^{3}-2 x+\frac{x^{3}}{3}+2 x-\frac{8 x^{3}}{6}+o\left(x^{4}\right)=
$$

$$
\frac{4}{3} x^{3}-\frac{4}{3} x^{3}+o\left(x^{4}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{o\left(x^{4}\right)}{x^{4}}=0.
$$

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