若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同

一、题目

下面的矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$

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二、解析

首先，跟《什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值》这篇文章，实对称矩阵对角线上的元素不一定是特征值，因此，我们首先需要求解出矩阵 $A$ 的特征值：

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-3 & -4 \\ 0 & -4 & \lambda-3\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)(\lambda-3)^{2}-16(\lambda-2)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2) [(\lambda-3)^{2}-(6]=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)\left(x^{2}+9-6 \lambda-16\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)\left(\lambda^{2}-6 \lambda-7\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)(\lambda-7)(\lambda+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=7, \lambda_{3}=-1
$$

于是可知，矩阵 $A$ 的正惯性指数为 $2$, 负惯性指数为 $1$, 由于，对于实对称矩阵而言，只有正负惯性指数分别相同的矩阵才可以合同，因此，本题的正确选项为 $(B)$.

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