寻找第二类可去间断点的重点步骤是找出所有可能的间断点并对这些点左右两侧的极限分别进行计算

一、题目

函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x^{2}-\pi x} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 有多少个第二类间断点？

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 《第一类间断点的定义》
2. 《第二类间断点的定义》

首先寻找间断点：

$$
e^{\frac{1}{x-1}} \Rightarrow x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1
$$

$$
x^{2}-\pi x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, \quad x \neq \pi
$$

于是可知，函数 $f(x)$ 的间断点为：

$$
x = 0,1, \pi
$$

下面分别对不同间断点左右两侧的极限进行讨论：

$x=0$ 左右两侧的极限

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|\sin x|}{x(x-\pi)} e^{\frac{1}{x-1}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|\sin x|}{x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-\pi}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{e}}{-\pi}=\frac{-1}{\pi e}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{| \sin x |}{x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-\pi}=\frac{-1}{\pi e}
$$

$x=1$ 左右两侧的极限

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sin x}{1} \cdot \frac{e^{+\infty}}{1-\pi}=-\infty
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sin x}{1} \cdot \frac{e^{-\infty}}{1-\pi}=0
$$

$x = \pi$ 左右两侧的极限

已知：

$$
\sin x=-\sin (x-\pi)=\sin (\pi-x)
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)=\frac{|\sin (\pi-x)|}{x-\pi} \cdot \frac{e^{\frac{1}{\pi-1}}}{\pi} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{|\sin (\pi-x)|}{x-\pi} \Rightarrow
$$

$$
\frac{0^{+}}{0^{+}}=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)=\frac{e^{\frac{1}{\pi-1}}}{\pi}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{-}} f(x)=\frac{|\sin (\pi-x)|}{x-\pi} \cdot \frac{e^{\frac{1}{\pi-1}}}{\pi} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{-}} \frac{|\sin (\pi-x)|}{x-\pi} \Rightarrow
$$

$$
\frac{0^{+}}{0^{-}}=-1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \pi^{-}} f(x)=-\frac{e^{\frac{1}{\pi-1}}}{\pi}
$$

---