寻找第二类可去间断点的重点步骤是找出所有可能的间断点并对这些点左右两侧的极限分别进行计算

一、题目

函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x^2-\pi x}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}$ 有多少个第二类间断点？

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 《第一类间断点的定义》
2. 《第二类间断点的定义》

首先寻找间断点：

$$e^{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$$

$$x^2-\pi x\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne \pi$$

于是可知，函数 $f(x)$ 的间断点为：

$$x=0,1,\pi$$

下面分别对不同间断点左右两侧的极限进行讨论：

$x=0$ 左右两侧的极限

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|\sin x|}{x(x-\pi )}{e}^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|\sin x|}{x}\cdot \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-\pi }=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{1}{e}}{-\pi }=\frac{-1}{\pi e}$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|\sin x|}{x}\cdot \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-\pi }=\frac{-1}{\pi e}$$

$x=1$ 左右两侧的极限

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\sin x}{1}\cdot \frac{e^{+\mathrm{\infty }}}{1-\pi }=-\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\sin x}{1}\cdot \frac{e^{-\mathrm{\infty }}}{1-\pi }=0$$

$x=\pi$ 左右两侧的极限

已知：

$$\sin x=-\sin (x-\pi )=\sin (\pi -x)$$

于是：

$$\underset{x\to {\pi }^{+}}{lim}f(x)=\frac{|\sin (\pi -x)|}{x-\pi }\cdot \frac{e^{\frac{1}{\pi -1}}}{\pi }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to {\pi }^{+}}{lim}\frac{|\sin (\pi -x)|}{x-\pi }\Rightarrow$$

$$\frac{0^{+}}{0^{+}}=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to {\pi }^{+}}{lim}f(x)=\frac{e^{\frac{1}{\pi -1}}}{\pi }$$

$$\underset{x\to {\pi }^{-}}{lim}f(x)=\frac{|\sin (\pi -x)|}{x-\pi }\cdot \frac{e^{\frac{1}{\pi -1}}}{\pi }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to {\pi }^{-}}{lim}\frac{|\sin (\pi -x)|}{x-\pi }\Rightarrow$$

$$\frac{0^{+}}{0^{-}}=-1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to {\pi }^{-}}{lim}f(x)=-\frac{e^{\frac{1}{\pi -1}}}{\pi }$$

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