只要没说处处可导就只能用一点处导数的定义

一、题目

已知 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=af(x)$, 且 $f^{\prime }(0)=b$, 其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否可导？

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二、解析

根据一点处导数的定义：

$$f^{\prime }(1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& f(1+\mathrm{\Delta }x)=af(\mathrm{\Delta }x)\\ & f(1)=f(1+0)=af(0)\end{array}\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{af(\mathrm{\Delta }x)-af(0)}{\mathrm{\Delta }x}=$$

$$a\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x)-af(0)}{\mathrm{\Delta }x}=a{f}^{\prime }(0)=ab.$$

因此，$f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且导数等于 $ab$.

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