解这道题需要注意两点：可导必连续、一点处的导数要用定义求解

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\ln (1+bx)}{x},& x\ne 0\\ -1,& x=0,\end{array}$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

二、解析

由可导必连续可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+bx)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{bx}{x}=-1\Rightarrow b=-1$$

当 $x\ne 0$ 时：

$${\left(\frac{\ln (1-x)}{x}\right)}^{\prime }=\frac{\frac{-x}{1-x}-\ln (1-x)}{x^2}=$$

$$\frac{-x(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)x^2}.$$

接着，我们需要利用一点处导数的定义求解 $x=0$ 处的导数：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\ln (1-x)}{x}+1}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x)+x}{x^2}\Rightarrow x=-x\Rightarrow \underset{-x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)-x}{(-x{)}^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

当然，对 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x)+x}{x^2}$ 的求解也可以通过泰勒公式进行：

由泰勒公式可知：

$$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+o\left(x^2\right)\Rightarrow$$

$$\ln (1-x)=-x-\frac{1}{2}{x}^2+o\left(x^2\right).$$

此外，对 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x)+x}{x^2}$ 的求解也可以通过洛必达运算进行：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x)+x}{x^2}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{1-x}+1}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1+1–x}{2x(1-x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x}{2x–2x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x}{2x}=\frac{-1}{2}$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x)+x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x-\frac{1}{2}{x}^2+x}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

综上可知：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{-x(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)x^2},& x\ne 0;\\ \frac{-1}{2},& x=0\end{array}$$