极限函数的连续区间问题：首先分清哪个是自变量

一、题目

已知 $f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $f(x)$ 的连续区间是多少？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} e^{n} x}{1+e^{n x}}.
$$

则可知，本题中的自变量是 $x$ 而不是 $n$, 我们需要对 $x$ 进行分类讨论——

由于本题中不存在间断点，因此，我们对 $x$ 进行分类讨论的时候，只需要以 $x = 0$ 为界，分成如下三段分别讨论即可：

$$
x=0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=\frac{0+0}{1+1}=\frac{0}{2}=0.
$$

$$
x<0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=\frac{x+x^{2} \cdot 0}{1+0}=x.
$$

$$
x>0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}=\frac{x^{2} e^{n x}}{e^{n x}}=x^{2}.
$$

且易知 $y=0$, $y=x$, $y=x^{2}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 区间上可以无缝连接，因此，函数 $f(x)$ 的连续区间就是：

$$
(-\infty, +\infty)
$$

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