极限函数的连续区间问题：首先分清哪个是自变量

一、题目

已知 $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{\mathrm{e}}^{nx}}{1+{\mathrm{e}}^{nx}}$, 则 $f(x)$ 的连续区间是多少？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{e}^{n}x}{1+e^{nx}}.$$

则可知，本题中的自变量是 $x$ 而不是 $n$, 我们需要对 $x$ 进行分类讨论——

由于本题中不存在间断点，因此，我们对 $x$ 进行分类讨论的时候，只需要以 $x=0$ 为界，分成如下三段分别讨论即可：

$$x=0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{e}^{nx}}{1+e^{nx}}=\frac{0+0}{1+1}=\frac{0}{2}=0.$$

$$x<0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{e}^{nx}}{1+e^{nx}}=\frac{x+x^2\cdot 0}{1+0}=x.$$

$$x>0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+x^2{e}^{nx}}{1+e^{nx}}=\frac{x^2{e}^{nx}}{e^{nx}}=x^2.$$

且易知 $y=0$, $y=x$, $y=x^2$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 区间上可以无缝连接，因此，函数 $f(x)$ 的连续区间就是：

$$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$

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