这道题千万不能跟着感觉走：极值点要一个一个验证

一、题目

已知，函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$, 可去间断点 $x=1$, 则 $(a,b)=?$

难度评级：

二、解析

由题可知，函数 $f(x)$ 存在如下两个间断点：

$$x=1,x=e$$

这两个间断点和 $a$ 与 $b$ 之间有如下两种组合方式：

$a=1,b=e$ 或者 $a=e,b=1$

接下来分别讨论这两种情况（千万不能因为 $e^x–1$ 是常见的等价无穷小而直接认为 $b=1$）。

当 $a=1,b=e$ 时

有：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}=\frac{1}{1-e}\underset{x\to 1}{lim}\frac{e^x-e}{x-1}=$$

$$\frac{1}{1-e}\underset{x\to 1}{lim}\left[e\frac{e^{x-1}-1}{x-1}\right]=\frac{e}{1-e}\dots$$

且：

$$\underset{x\to e}{lim}\frac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}=\frac{1}{e-1}\underset{x\to e}{lim}\frac{e^x-e}{x-e}=\frac{\mathrm{常}\mathrm{数}}{0}=\mathrm{\infty }$$

于是可知，此时 $x=1$ 是可去间断点，$x=e$ 是无穷间断点。

当 $a=e,b=1$ 时

有：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}=\frac{1}{1-e}\underset{x\to 1}{lim}\frac{e^x-1}{x-1}=$$

$$\frac{1}{1-e}\underset{x\to 1}{lim}\frac{x}{x-1}=\frac{1}{1-e}\cdot \frac{\mathrm{常}\mathrm{数}}{0}=\mathrm{\infty }$$

且：

$$\underset{x\to e}{lim}\frac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}=\frac{1}{e-1}\underset{x\to e}{lim}\frac{e^x-1}{x-e}=$$

$$\frac{1}{e-1}\cdot \frac{\mathrm{常}\mathrm{数}}{0}=\mathrm{\infty }$$

于是可知，此时 $x=1$ 和 $x=e$ 都是无穷间断点。

综上可知，满足题意的结果是：

$$a=1,b=e.$$

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