这道题千万不能跟着感觉走：极值点要一个一个验证

一、题目

已知，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$, 可去间断点 $x=1$, 则 $(a, b)=?$

难度评级：

二、解析

由题可知，函数 $f(x)$ 存在如下两个间断点：

$$
x=1, \quad x=e
$$

这两个间断点和 $a$ 与 $b$ 之间有如下两种组合方式：

$a = 1, \quad b = e$ 或者 $a = e, \quad b=1$

接下来分别讨论这两种情况（千万不能因为 $e^{x} – 1$ 是常见的等价无穷小而直接认为 $b = 1$）。

当 $a=1, \quad b = e$ 时

有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e}{(x-1)(x-e)}=\frac{1}{1-e} \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e}{x-1}=
$$

$$
\frac{1}{1-e} \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left[e \frac{e^{x-1}-1}{x-1}\right]=\frac{e}{1-e}\dots
$$

且：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow e} \frac{e^{x}-e}{(x-1)(x-e)}=\frac{1}{e-1} \lim \limits_{x \rightarrow e} \frac{e^{x}-e}{x-e}=\frac{常数}{0}=\infty
$$

于是可知，此时 $x = 1$ 是可去间断点，$x = e$ 是无穷间断点。

当 $a=e, \quad b = 1$ 时

有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-1}{(x-e)(x-1)}=\frac{1}{1-e} \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-1}{x-1}=
$$

$$
\frac{1}{1-e} \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x}{x-1}=\frac{1}{1-e} \cdot \frac{常数}{0}=\infty
$$

且：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow e} \frac{e^{x}-1}{(x-e)(x-1)}=\frac{1}{e-1} \lim \limits_{x \rightarrow e} \frac{e^{x}-1}{x-e}=
$$

$$
\frac{1}{e-1} \cdot \frac{常数}{0}=\infty
$$

于是可知，此时 $x = 1$ 和 $x = e$ 都是无穷间断点。

综上可知，满足题意的结果是：

$$
a = 1, \quad b = e.
$$

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