你能走出这个关于 $e^x$ 的迷宫吗？

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{{(1+{\mathrm{e}}^{-x})}^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

Tips:

在正式开始阅读本文之前，建议首先通读下面两篇文章，以完成必要的知识储备：

1. 《考研数学解题思路积累：和 $e^x$ 有关的那些式子》
2. 《一个常用的无穷大量的比较公式》

正确的解法 1

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x}}{{(1+e^{-x})}^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\frac{x}{e^x}}{{(1+\frac{1}{e^x})}^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{e^x}\cdot \frac{{\left(e^x\right)}^2}{{(e^x+1)}^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^x}{{(e^x+1)}^2}\mathrm{d}x.$$

又：

$${\left(\frac{1}{e^x+1}\right)}^{\prime }=\frac{-e^x}{{(e^x+1)}^2}.$$

于是：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^x}{{(e^x+1)}^2}\mathrm{d}x=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}\left(\frac{1}{e^x+1}\right)=$$

$$-{\frac{x}{e^x+1}|}_0^{+\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^x+1}\mathrm{d}x.$$

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0.$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{e^x+1}=\frac{0}{1+1}=\frac{0}{2}=0.$$

因此：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^x+1}\mathrm{d}x.$$

又：

$$[\ln (1+e^{-x}){]}^{\prime }=\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{-\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}=$$

$$\frac{-1}{e^x}\times \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{-1}{e^x+1}.$$

于是：

$$I=-{\ln (1+e^{-x})|}_0^{+\mathrm{\infty }}=$$

$$-[\ln (1+0)-\ln (1+1)]=-[\ln 1-\ln 2]=\ln 2.$$

插播一个错误的解法

下面这个分部积分的使用本身没有问题：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x}}{{(1+e^{-x})}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow {\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)}^{\prime }=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})}\Rightarrow$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x}}{{(1+e^{-x})}^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=$$

$${\frac{x}{1+e^{-x}}|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x.$$

但是，由于 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{1+e^{-x}}=\frac{+\mathrm{\infty }}{1}=+\mathrm{\infty }$ 极限不存在，且由于 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x={\ln (1+e^x)|}_0^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$ 表名对应的积分发散，因此，上面用分部积分所得的式子并不能计算出应有的结果。

正确的解法 2

根据前面插播的错误解法可知，我们在使用分部积分时，应该先将极限值看作常数处理，之后再想办法计算出整体的极限值，而不是直接代入极限，于是：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x}}{{(1+e^{-x})}^2}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{b}x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\frac{x}{1+e^{-x}}|}_0^b-{\int }_0^b\frac{1}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x)=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{b}{1+e^{-b}}-\frac{0}{1}-{\ln (1+e^x)|}_0^b)=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln (1+e^b)+\ln 2)=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+e^{-b}}(b-(1+e^{-b})\ln (1+e^b))+\ln 2.$$

又：

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+e^{-b}}=\frac{1}{1}=1.$$

于是：

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b-(1+e^{-b})\ln (1+e^b))+\ln 2.$$

又：

$$b={\log }_e{e}^b\Rightarrow \ln e^b=b.$$

于是：

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln e^b-(1+e^{-b})\ln (1+e^b))+\ln 2=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln e^b-\frac{1+e^b}{e^b}\ln (1+e^b))+\ln 2=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln e^b-(1+e^b)\cdot \frac{\ln (1+e^b)}{e^b})+\ln 2=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln e^b-\frac{\ln (1+e^b)}{e^b}-\ln (1+e^b))+\ln 2=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln \frac{e^b}{1+e^b}-\frac{\ln (1+e^b)}{e^b})+\ln 2.$$

又：

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln \frac{e^b}{1+e^b}=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln \frac{e^b}{e^b}=\ln 1=0.$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+e^b)}{e^b}=\frac{0}{\mathrm{\infty }}=0.$$

Tips:

根据《一个常用的无穷大量的比较公式》可知，$\ln$ 会限制 $e^b$ 的增长速度，因此，当 $b\to \mathrm{\infty }$ 时，$\ln (1+e^b)$ 远小于 $e^b$.

综上可知：

$$I=0-0+\ln 2=\ln 2.$$

正确的解法 3

在正确的解法二中对 $\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln (e^b+1)]$ 的处理过程，也可以按照下面的方法进行：

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln (e^b+1)]=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{b(1+e^{-b}-e^{-b})}{1+e^{-b}}-\ln \left[e^b(1+e^{-b})\right]=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{b(1+e^{-b})}{1+e^{-b}}-\frac{b{e}^{-b}}{1+e^{-b}}-\ln e^b-\ln (1+e^{-b})]$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[b-\frac{b}{e^b}\cdot \frac{e^b}{e^b+1}-b-\ln 1]=$$

$$\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{-b}{e^b+1}-\ln 1]=0-0=0.$$

Tips:

根据《一个常用的无穷大量的比较公式》可知，当 $b\to \mathrm{\infty }$ 时，$b$ 是远远小于 $e^b$ 的。

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