你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime }(4)=1$, 则：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1-3\tan h)}{h}=?$$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 求导运算不会改变函数的周期：导函数与其原函数具有相同的函数周期；
2. 一点处导数的定义：《形式 1》、《形式 2》

由题可知：

$$f^{\prime }(4)=f^{\prime }(4-3)=f^{\prime }(1)=1$$

$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$

$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1-3\tan h)-f(1)}{-3\tanh }$$

于是：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1-3\tan h)}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1)-[f(1-3\tan h)-f(1)]}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}–\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1-3\tan h)-f(1)}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}–\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1-3\tan h)-f(1)}{-3\tan h}\cdot (-3\tan h)=$$

$$\frac{1-1\cdot (-3)}{h}=1+3=4.$$

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