你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？

一、题目

已知 $I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+f(x)\ln (1+x)}-1}{{\mathrm{e}}^{2x^3}-1}=3$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

这道题是不能用洛必达法则的，原因在于题目中并没有说函数 $f(x)$ 可导，而且使用了洛必达法则的计算步骤会相当复杂。

解法 1

由题可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}\Rightarrow x^2\to 0\Rightarrow f(x)\to 0.$$

于是：

$$[1+f(x)\ln (1+x){]}^{\frac{1}{2}}-1\sim \frac{1}{2}f(x)\ln (1+x).$$

进而可得：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}f(x)\ln (1+x)}{2x^3}\Rightarrow$$

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}f(x)\cdot x}{2x^3}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}f(x)}{2x^2}=3\Rightarrow$$

$$\frac{1}{4}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=3\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=12.$$

解法 2

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+f(x)\ln (1+x)}-1}{e^{2x^3}-1}=3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}f(x)\ln (1+x)}{2x^3}=3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}\ln (1+x)}{2x}=3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}\cdot \frac{1}{4}=3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=3\times 4=12.$$

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