你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？

一、题目

已知 $I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \ln (1+x)}-1}{\mathrm{e}^{2 x^{3}}-1}=3$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}= ?$

难度评级：

二、解析

Tips:

这道题是不能用洛必达法则的，原因在于题目中并没有说函数 $f(x)$ 可导，而且使用了洛必达法则的计算步骤会相当复杂。

解法 1

由题可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} \Rightarrow x^{2} \rightarrow 0 \Rightarrow f(x) \rightarrow 0.
$$

于是：

$$
{[1+f(x) \ln (1+x)]^{\frac{1}{2}}-1 \sim \frac{1}{2} f(x) \ln (1+x)}.
$$

进而可得：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} f(x) \ln (1+x)}{2 x^{3}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} f(x) \cdot x}{2 x^{3}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} f(x)}{2 x^{2}}=3 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{4} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=3 \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=12.
$$

解法 2

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \ln (1+x)}-1}{e^{2 x^{3}}-1}=3 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} f(x) \ln (1+x)}{2 x^{3}}=3 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \ln (1+x)}{2 x}=3 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{4}=3 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=3 \times 4=12.
$$

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