变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{x_0}^x\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t=?$$

其中 $x_0>0$ 且 $x>x_0$.

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{x_0}^x\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$x\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow \ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\sim \frac{1}{\sqrt{t}}\Rightarrow$$

$$x_0>0,x>x_0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{t}}>0\Rightarrow$$

$$\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})>\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\Rightarrow$$

$${\int }_{x_0}^x\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t>\frac{1}{2}{\int }_{x_0}^x\frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t.$$

又：

$$\frac{1}{2}{\int }_{x_0}^x\frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t={\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}}|}_{x_0}^x\Rightarrow \sqrt{x}-\sqrt{x_0}\Rightarrow$$

$$x>x_0\Rightarrow \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})=+\mathrm{\infty }.$$

于是：

$${\int }_{x_0}^x\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t=+\mathrm{\infty }$$

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