分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！

一、题目

求解下面的数列极限：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

解法 1

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right) \mathrm{d} x}{n^{\frac{1}{2}}}=
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)}{\frac{1}{2} n^{\frac{-1}{2}}} =
$$

又 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} \rightarrow 0$, 因此，由等价无穷小公式可知：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.
$$

解法 2

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

令 $x=t$, 则：

Tips:

这一步变量代换主要是为了第二次变量代换时产生混淆。

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

令 $\sqrt{n}=x$, $x^{2}=n$, 则：

Tips:

这是第二次变量代换。

$$
\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} \int_{1}^{x^{2}} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{\int_{1}^{x^{2}} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t}{x} \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{1} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 x \cdot \frac{1}{x}}{1}=2.
$$

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