分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！

一、题目

求解下面的数列极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{x}})\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

解法 1

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{x}})\mathrm{d}x=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})\mathrm{d}x}{n^{\frac{1}{2}}}=$$

洛必达运算：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}})}{\frac{1}{2}{n}^{\frac{-1}{2}}}=$$

又 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\to 0$, 因此，由等价无穷小公式可知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$

解法 2

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{x}})\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令 $x=t$, 则：

Tips:

这一步变量代换主要是为了第二次变量代换时产生混淆。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t\Rightarrow$$

令 $\sqrt{n}=x$, $x^2=n$, 则：

Tips:

这是第二次变量代换。

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{\int }_1^{x^2}\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_1^{x^2}\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t}{x}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x\ln (1+\frac{1}{x})}{1}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x\cdot \frac{1}{x}}{1}=2.$$

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