在无穷量存在的式子中代入极限值的时候，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)(x+2)},& x\ne 1,x\ne -2,\\ 2,& x=1,\end{array}$

且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a,b)=?$

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二、解析

错误的解法

由题可知：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)(x+2)}=2\Rightarrow$$

先将 $\underset{x\to 1}{lim}(x+2)=3$ 的极限值代入：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)\cdot 3}=2\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1}{lim}(x^4+ax+b)=\underset{x\to 1}{lim}6\cdot (x-1).$$

上面的计算步骤是错的。虽然，$x-1$ 和 $x–2$ 的极限都存在，根据《极限的乘法运算规律》是可以拆开分别求极限的，但是，我们在进行极限值的代入时，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值，因此，上面的操作步骤就是错的。

另外一个理解就是，只有在拆开之后，符合极限四则运算规律的情况下，才能分别求极限，但是，在分子或者分母中单独进行极限值的代入，并不意味着原来的式子拆开之后一定符合极限的四则运算规律，因此，不能直接单独代入。

正确的解法

由题可知：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)(x+2)}=2.$$

于是：

$$\underset{x\to 1}{lim}(x-1)(x+2)=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1}{lim}(x^4+ax+b)=0\Rightarrow$$

$$1+a+b=0.$$

接着：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)(x+2)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4+ax+b}{x^2+x-2}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{4x^3+a}{2x+1}=$$

代入极限值：

$$\frac{4+a}{3}=2.$$

又：

$$\{\begin{array}{ll}& a=2;\\ & 1+a+b=0\end{array}\Rightarrow$$

$$1+2+b=0\Rightarrow b=-3$$

综上：

$$\{\begin{array}{ll}& a=2;\\ & b=-3.\end{array}$$

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