整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子

一、题目

已知 $a$, $b$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{3}}+\frac{a}{x^{2}}\right)$ $=$ $b$, 则 $(a, b) = ?$

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二、解析

首先，$\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{3}}+\frac{a}{x^{2}}\right)$ 这个式子整体是有极限的，且其极限是 $b$, 但是，由于：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{3}} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^{3}} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$\frac{1}{0}$ 型式子没有极限 $\Rightarrow$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{3}}$ 没有极限。

同理，单独看 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a}{x^{2}}$ 也是不存在极限的。

因此，我们就需要改造这两个式子，构造出可能存在极限的形式，改造的方法就是合并这两个式子：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{3}}+\frac{a}{x^{2}}\right) = b \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x + ax}{x^{3}} \right) = b \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[ (\sin x + ax) \sim bx^{3} \right].
$$

由于：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} (x – \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3})
$$

因此，必有（$x \rightarrow 0$ 时）：

$$
\sin x + ax \sim bx \Rightarrow
$$

$$
\sin x – x \Rightarrow \frac{-1}{6}x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& a = -1; \
& b = \frac{-1}{6}.
\end{cases}
$$

当然，对 $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x + ax}{x^{3}} \right) = b$ 的计算过程也可以使用洛必达法则进行：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x + ax}{x^{3}} \right) =
$$

第一次洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x + a}{3x^{2}} \right) =
$$

第二次洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\sin x}{6x} \right) = \frac{-1}{6} \Rightarrow
$$

$$
b = \frac{-1}{6}.
$$

将 $b = \frac{-1}{6}$ 代入 $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x + a}{3x^{2}} \right) = \frac{-1}{6}$ 可得：

$$
a = -1.
$$

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