整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子

一、题目

已知 $a$, $b$ 为常数, $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{a}{x^2})$ $=$ $b$, 则 $(a,b)=?$

难度评级：

二、解析

首先，$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{a}{x^2})$ 这个式子整体是有极限的，且其极限是 $b$, 但是，由于：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\Rightarrow$$

$\frac{1}{0}$ 型式子没有极限 $\Rightarrow$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x^3}$ 没有极限。

同理，单独看 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a}{x^2}$ 也是不存在极限的。

因此，我们就需要改造这两个式子，构造出可能存在极限的形式，改造的方法就是合并这两个式子：

$$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{a}{x^2})=b\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\sin x+ax}{x^3}\right)=b\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}[(\sin x+ax)\sim b{x}^3].$$

由于：

$$\underset{x\to 0}{lim}(x–\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3)$$

因此，必有（$x\to 0$ 时）：

$$\sin x+ax\sim bx\Rightarrow$$

$$\sin x–x\Rightarrow \frac{-1}{6}{x}^3\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{lll}& a=-1;& b=\frac{-1}{6}.\end{array}$$

当然，对 $\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\sin x+ax}{x^3}\right)=b$ 的计算过程也可以使用洛必达法则进行：

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\sin x+ax}{x^3}\right)=$$

第一次洛必达运算：

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\cos x+a}{3x^2}\right)=$$

第二次洛必达运算：

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{-\sin x}{6x}\right)=\frac{-1}{6}\Rightarrow$$

$$b=\frac{-1}{6}.$$

将 $b=\frac{-1}{6}$ 代入 $\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\cos x+a}{3x^2}\right)=\frac{-1}{6}$ 可得：

$$a=-1.$$

---