整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 a, b 为常数, limx0(sinxx3+ax2) = b, 则 (a,b)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,limx0(sinxx3+ax2) 这个式子整体是有极限的,且其极限是 b, 但是,由于:

limx0sinxx3=limx0xx3=limx01x2

10 型式子没有极限 limx0sinxx3 没有极限。

同理,单独看 limx0ax2 也是不存在极限的。

因此,我们就需要改造这两个式子,构造出可能存在极限的形式,改造的方法就是合并这两个式子:

limx0(sinxx3+ax2)=b

limx0(sinx+axx3)=b

limx0[(sinx+ax)bx3].

由于:

limx0(xsinx16x3)

因此,必有(x0 时):

sinx+axbx

sinxx16x3

{a=1; b=16.

当然,对 limx0(sinx+axx3)=b 的计算过程也可以使用洛必达法则进行:

limx0(sinx+axx3)=

第一次洛必达运算:

limx0(cosx+a3x2)=

第二次洛必达运算:

limx0(sinx6x)=16

b=16.

b=16 代入 limx0(cosx+a3x2)=16 可得:

a=1.


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