特例法一般只能用在选择题中：因为特例只能得到正确答案的一部分

一、题目

已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 为正数 $(m⩾2)$, 则：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}=?$$

难度评级：

二、解析

错误的解法

由于严格地说，特例只能得到正确答案的一部分，因此，特例法一般只能用在选择题中。

例如，下面使用特例法得到的结果就是错的：

$$a_1=a_2=\cdots =a_m=1\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n)}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1^n+1^n+\cdots +1^n)}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+1+1+\cdots +1{)}^0=1.$$

正确的解法 1：构造无穷小量

设：

$$a_1=max\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\}$$

则：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[a_1^n{(1+{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^n+\cdots +{\left(\frac{a_m}{a_1}\right)}^n]}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=a_1\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[1+{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^n+\cdots +{\left(\frac{a_m}{a_1}\right)}^n]}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

又：

$$\left(\frac{a_2}{a_1}\right)<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^n\to 0$$

$$\left(\frac{a_m}{a_1}\right)<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{a_m}{a_1}\right)}^n\to 0$$

于是：

$$I=a_1\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+0+\cdots +0{]}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=a_1\cdot 1=a_1$$

综上可知：

$$I=max\{a_1,a_2,\dots ,a_m\}$$

正确的解法 2：放缩夹逼

设：

$$a_1=max\{a_1,a_2,\dots ,a_m\}.$$

则：

$$a_1⩽{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}⩽{\left(m{a}_1^n\right)}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(m{a}_1^n\right)}^{\frac{1}{n}}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_1\cdot m^{\frac{1}{n}}\Rightarrow a_1\cdot 1=a_1\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}=a_1.$$

综上可知：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}=max\{a_1,a_2,\dots a_m\}.$$

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