由一个形式的极限推导另一个形式的极限:以两道典型题目为例

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题,我们有两种解决思路:

  1. 由已知式推导未知式;
  2. 由未知式反推已知式。

在本文中,我们将看到对上面这两种思路的应用。

二、正文 正文 - 荒原之梦

例题一

难度评级:

已知 limx0 ln[1+x+f(x)x]x = 3, 则 limx0 f(x)x2 = ?

x0 时:

ln[1+x+f(x)x]x=3

ln[1+x+f(x)x]3x

x+f(x)x3x

f(x)x2x

f(x)x2=2

limx0f(x)x2=2.

例题二

难度评级:

已知 limx0 ln(1x)+xf(x)x2 = 0, 则 limx0 f(x)1x = ?

注意:在本题中,我们不能使用洛必达法则,因为题目中没有说函数 f(x) 存在导函数。

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

解法 1

x0 时:

f(x)1x=

xf(x)xx2=

xf(x)x+ln(1x)ln(1x)x2=

xf(x)+ln(1x)[x+ln(1x)]x2=

xf(x)+ln(1x)x2[x+ln(1x)]x2=

0x+ln(1x)x2=

(x)ln[1+(x)]x2=

12(x)2x2=12

limx0f(x)1x=12.

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

解法 2

x0 时:

ln(1x)+xf(x)x2=0

ln(1x)+xf(x)+xxx2=0

x+ln(1x)+xf(x)xx2=0

[xln(1x)]x2+xf(x)xx2=0

12(x)2x2+xf(x)xx2=0

12+f(x)1x=0

f(x)1x=12

limx0f(x)1x=12.


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress