判断 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线的条数和类型

一、题目题目 - 荒原之梦

判断如下函数的渐近线的条数和类型:

$$
y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

关于求解函数渐近线的基础知识,可以查看 这篇文章

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1. 水平渐近线

首先判断是否存在水平渐近线:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{x} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x \cdot e^{0} = + \infty.
$$

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$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2}}{x} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} x \cdot e^{0} = – \infty.
$$

因此,该函数不存在水平渐近线。

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2. 倾斜渐近线

接着判断是否存在倾斜渐近线:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + 1}{x(x + 1)} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} 1 \cdot e^{0} = 1.
$$

因此,该函数存在一条倾斜渐近线。

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3. 垂直渐近线

最后判断垂直渐近线:

观察可知,对于函数 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 而言,有如下两个定义不存在的点:

$x$ $=$ $1$ 和 $x$ $=$ $-1$.

其中,根据指数函数的性质可知,在 $x$ $=$ $1$ 处,需要在左右两边分别讨论极限。

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于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 \cdot e^{\frac{1}{0^{+}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 \cdot e^{+ \infty} = + \infty
$$

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$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} 1 \cdot e^{\frac{1}{0^{-}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} 1 \cdot e^{- \infty} = 1 \cdot 0 = 0.
$$

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$$
\lim_{x \rightarrow (-1)} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{-2}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow (-1)} \frac{2}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{-2}} = \infty.
$$

因此,当 $x$ $\rightarrow$ $1^{+}$ 和 $x$ $\rightarrow$ $-1$ 时,存在两条垂直渐近线。

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综上可知,函数 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 存在 $1$ 条倾斜渐近线,存在 $2$ 条垂直渐近线。

该函数的函数图像示意图如下(其中红色实线为函数图象,虚线则为渐近线):

图 01.

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