单调有界即收敛，设出极限求极限

一、题目

已知 $x_0$ $=$ $0$, 且 $x_n$ $=$ $\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1,2,3,\cdots$, 则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_n$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

本题属于求解数列极限的题目，一般情况下，该数列的极限都是存在的——但我们要首先证明该数列存在极限，所依据的方法就是“单调有界即收敛”——收敛就是存在极限。

$$x_n=\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\Rightarrow$$

$$x_n=\frac{A(1+x_{n-1})+B}{1+x_{n-1}}\Rightarrow$$

$$x_n=\frac{2(1+x_{n-1})–1}{1+x_{n-1}}\Rightarrow$$

$$x_n=2–\frac{1}{1+x_{n-1}}.$$

Next

于是：

$$0⩽x_n=2–\frac{1}{1+x_{n-1}}<2.$$

即可知，数列 $x_n$ 是有界的。

Next

接着，若令：

$$f(x)=2–\frac{1}{1+x}$$

可以知道，随着 $x$ 的增加，$f(x)$ 的值也是增加的，因此，函数 $f(x)$ 单调递增，也就意味着对应的数列 $x_n$ 也是单调递增的。

综上可知，数列 $x_n$ 单调且有界，因此，该数列存在极限。

Next

由于一般情况下，此类题目中，数列的极限都是存在的，因此，如果一时无法证明数列极限确实存在，也可以先假设该极限存在，并按照下面的方法计算出该极限。

设数列 $x_n$ 的极限为 $A$, 则：

$$x_n=\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\Rightarrow$$

$$A=\frac{1+2A}{1+A}\Rightarrow$$

$$A^2+A–2A–1=0\Rightarrow$$

$$A^2–A–1=0\Rightarrow$$

$$A=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}\Rightarrow$$

$$A=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow$$

Next

$$\{\begin{array}{c}A=\frac{1–\sqrt{5}}{2}<0\Rightarrow \mathrm{舍}\mathrm{去}\\ A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0\Rightarrow \mathrm{保}\mathrm{留}\end{array}$$

Next

因此，综上可知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

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