用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$

其中，$a > 0$.

难度评级：

二、解析

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln [ x( 1 + x) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} [\ln x + \ln ( 1 + x) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } [ x^{a} \ln x + x^{a} \ln ( 1 + x) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } [ x^{a} \ln x + x^{a} x ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } [ x^{a} \ln x + x^{a + 1} ] \Rightarrow
$$

Next

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，$x^{a + 1}$ 是 $x^{a}$ 的高阶无穷小，可以舍去 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( x^{a} \ln x ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{\ln x}{x^{-a}} ) \Rightarrow
$$

Next

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{ \frac{1}{x} }{-a x^{-a-1}} ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{ 1 }{-a x x^{-a-1}} ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{ 1 }{-a x^{-a}} ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{ x^{a} }{-a} ) \Rightarrow
$$

上面的式子是 $\frac{0}{常数}$ 的形式，因此 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } ( \frac{ x^{a} }{-a} ) = 0.
$$

注意：只有当 $a > 0$ 时，上面的结论才成立。

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