对涉及 cos x 的等价无穷小的解题方法总结

一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\to$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

难度评级：

二、正文

$$\underset{x\to 0}{lim}[1–(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}]=$$

$$(-1)\underset{x\to 0}{lim}[(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}–1]=$$

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$$(-1)\underset{x\to 0}{lim}[(\cos cx–1+1{)}^{\frac{b}{a}}–1]=$$

$$(-1)\underset{x\to 0}{lim}\{[(\cos cx–1)+1{]}^{\frac{b}{a}}–1\}=$$

$$(-1)\times \underset{(\cos cx–1)\to 0}{lim}\{[(\cos cx–1)+1{]}^{\frac{b}{a}}–1\}\sim$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-b}{a}(\cos cx–1)=$$

上面的计算步骤应用了一个常见的等价无穷小：$\underset{x\to 0}{lim}$ $(x+1{)}^a$ $-$ $1$ $\sim$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $ax$.

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$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{b}{a}(1–\cos cx)\sim$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{b}{a}\times \frac{1}{2}(cx{)}^2=\underset{x\to 0}{lim}\frac{b{c}^2{x}^2}{2a}$$

Next

例如，当 $x$ $\to$ $0$ 时：

为了表述方面，下面所有式子之间都用 “$=$” 连接，没有在使用了等价无穷小的地方使用 “$\sim$” 符号。

$$1–\sqrt[3]{\cos x}=$$

$$1–{\cos }^{\frac{1}{3}}x=$$

$$(-1)\cdot ({\cos }^{\frac{1}{3}}x–1)=$$

$$(-1)\cdot [(\cos x–1+1{)}^{\frac{1}{3}}-1]=$$

$$(-1)\cdot \frac{1}{3}(\cos x–1)=$$

$$\frac{1}{3}(1–\cos x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{6}{x}^2.$$

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