设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
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继续阅读“2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵””
年轮是时光的涟漪，一圈一圈记录了春秋冬夏，一层一层勾勒了岁月容颜。
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已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$
都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（ ）
(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$
(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$
(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$
(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$
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继续阅读“阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大”
沉静心灵，摒弃浮尘，用细致如微风的笔触，勾勒价值的强音。
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已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$
(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$
(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
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继续阅读“分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法”
在求解一个函数的原函数的时候，我们常用的方法就是计算其不定积分。但其实，我们也可以使用计算其变上限积分的方式求解原函数。
那么，这两种求解原函数的方法有哪些区别呢？
在本文中，荒原之梦考研数学将通过一些图片和实例，帮助大家理解这一知识点。
$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )
(A). $k \neq 1$
(B). $k>1$
(C). $k>0$
(D). 与 $k$ 无关
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继续阅读“能用等号连接的条件就是“充要”条件”
不必艳羡远处的巍峨群峰，你本身就是一道风景。
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已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $a=1$, $b=1$
(B). $a=-1$, $b=-1$
(C). $a=1$, $b=-1$
(D). $a=-1$, $b=1$
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继续阅读“为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式”当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ）
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
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继续阅读“0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在”
三角函数 $y = \sin x$ 是考研数学中常用的函数之一。在本文中，荒原之梦考研数学将给出关于三角函数 $y = \sin x$ 的函数图像以及常用的特殊点，以供大家参考查阅。
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继续阅读“三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点”一般情况下，对于下面这些量是无穷大量，我们应该是没有疑问的：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x^{2} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } e^{x} & \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
但是，对于下面这些量是否是无穷大量，我们可能会有一些疑问，在本文中，荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \rightarrow ? \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \rightarrow ?
\end{aligned}
$$
细致的粉刷自己的生活，不是虚伪或掩饰，而是认真，认真的对待每一片天空的日出日落，认真的感受每一刻时光的凹凸质感。
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利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。
读书，无关风雅，而是一种人生的态度，一种昂扬的姿态，一种处世的风格。
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