荒原之梦

一、前言

在计算极限问题时，使用“抓大头”和“抓小头”的计算方式，有时候可以加快计算速度，但是，这种计算极限的方式不能随便使用——在用之前，必须清楚当前的情况是否能用抓大头和抓小头的计算方式，否则极易出现错误。

继续阅读“取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围：一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在”

一、前言

通常，借助周期函数的性质可以帮助我们寻找解题思路，或者简化求解的难度——但这一切的前提是，我们必须知道一个函数是否是一个周期函数。

为此，荒原之梦网在一般的周期函数判断方法的基础上，提出了一种名为“单路径约束”的全新判断方式，帮助大家快速判断一个函数是否是周期函数。

继续阅读“如何判断一个包含常见周期函数的函数是不是周期函数”

一、题目

已知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 并满足 $g\left(\frac{a+b}{2}+x\right)$ $=$ $-g\left(\frac{a+b}{2}-x\right)$ $\left(\forall x \in\left[0, \frac{b-a}{2}\right]\right)$, $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$, 则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“一个夸张的积分上限：肯定有规律可循”

一、题目

已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{d} t$, 则 $F(2 a)-2 F(a) = ?$

$$
(A) \quad 2
$$

$$
(B) \quad 0
$$

$$
(C) \quad 1
$$

$$
(D) \quad -1
$$

难度评级：

继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x=A$, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~d} x=?$

$$
(A) \quad 0
$$

$$
(B) \quad A
$$

$$
(C) \quad -A
$$

$$
(D) \quad 2 A
$$

难度评级：

继续阅读“解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题”

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，若令：

$$
F(x)=\int_{1}^{x}\left[g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right)-g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right)\right] \frac{\mathrm{d} t}{t}
$$

则 $F(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为：

$$
(A) 单调升
$$

$$
(B) 单调降
$$

$$
(C) 常数
$$

难度评级：

继续阅读“处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算”

一、题目

已知 $f(x)$ 为已知的连续函数, $t>0, s>0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 $\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f\left(\frac{t}{s} x\right) \mathrm{d} x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？

难度评级：

继续阅读“与积分变量无关的变量都视作常数处理”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{d} t$, 则在 $[-a, a]$ 上是偶函数还是奇函数？

难度评级：

继续阅读“在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数”

一、题目

已知 $f(u)$ 为连续的偶函数，$a$ 是常数，则以下式子的奇偶性如何：

第 1 个式子：

$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 2 个式子：

$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 3 个式子：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

第 4 个式子：

$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$

难度评级：

继续阅读“通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ $=$ $1$, $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime}(2) = ?$

注意：本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算，并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。

难度评级：

继续阅读“嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量”

一、题目

设 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{d} t, f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？

难度评级：

继续阅读“不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）”

一、题目

令 $x=\mathrm{e}^{t}$, 则，方程 $a x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+b x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+c y=0$ 可以转换为什么？

难度评级：

继续阅读“复合函数二阶导的题目：明确谁是谁的函数，谁是真自变量，谁是中间变量”

一、题目

已知 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{y^{2}} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime \prime}(x)= ?$

难度评级：

继续阅读“二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行”