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每日箴言：每一分每一刻，都是一生一世，万古亘荒的浓缩，诉说着前世，今生，还有未来
2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换
一、题目
设矩 阵 $A$ $=$ $\begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $B$ $=$ $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{pmatrix}$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x^{T} B A x$. 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{\top} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.
(1) 求 $a$, $b$ 的值;
(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换”每日箴言：大海上最壮丽的风景不是汹涌的波涛，而是劈波斩浪，无畏无惧的航船
大海上最壮丽的风景不是汹涌的波涛，而是劈波斩浪，无畏无惧的航船。
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2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”
一、题目
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵””每日箴言：年轮是时光的涟漪，一圈一圈记录了春秋冬夏，一层一层勾勒了岁月容颜
年轮是时光的涟漪，一圈一圈记录了春秋冬夏，一层一层勾勒了岁月容颜。
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阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大
一、题目
已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$
都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（ ）
(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$
(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$
(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$
(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$
难度评级：
继续阅读“阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大”每日箴言：沉静心灵，摒弃浮尘，用细致如微风的笔触，勾勒价值的强音
沉静心灵，摒弃浮尘，用细致如微风的笔触，勾勒价值的强音。
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分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$
(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$
(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
难度评级：
继续阅读“分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法”变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别
前言
在求解一个函数的原函数的时候，我们常用的方法就是计算其不定积分。但其实，我们也可以使用计算其变上限积分的方式求解原函数。
那么，这两种求解原函数的方法有哪些区别呢？
在本文中，荒原之梦考研数学将通过一些图片和实例，帮助大家理解这一知识点。
能用等号连接的条件就是“充要”条件
一、题目
$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )
(A). $k \neq 1$
(B). $k>1$
(C). $k>0$
(D). 与 $k$ 无关
难度评级：
继续阅读“能用等号连接的条件就是“充要”条件”每日箴言：不必艳羡远处的巍峨群峰，你本身就是一道风景
不必艳羡远处的巍峨群峰，你本身就是一道风景。
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为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $a=1$, $b=1$
(B). $a=-1$, $b=-1$
(C). $a=1$, $b=-1$
(D). $a=-1$, $b=1$
难度评级：
继续阅读“为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式”0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在
一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ）
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
难度评级：
继续阅读“0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在”三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点
一、前言 
三角函数 $y = \sin x$ 是考研数学中常用的函数之一。在本文中，荒原之梦考研数学将给出关于三角函数 $y = \sin x$ 的函数图像以及常用的特殊点，以供大家参考查阅。
难度评级：
继续阅读“三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点”为什么震荡时没有“无穷大”：因为破坏了无穷大趋于路径的唯一性和单向性
前言
一般情况下，对于下面这些量是无穷大量，我们应该是没有疑问的：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x^{2} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } e^{x} & \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
但是，对于下面这些量是否是无穷大量，我们可能会有一些疑问，在本文中，荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \rightarrow ? \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \rightarrow ?
\end{aligned}
$$