标签： 高等数学练习题

一、题目

已知：

$$f(x)=x^2(x+1{)}^2(x+2{)}^2(x+3{)}^2.$$

则 $f^{\prime \prime }(0)=?$

难度评级：

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}–\sqrt{1–\sin x}}{e^x–1}=?$$

难度评级：

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\{\begin{array}{ll}& (1+x{)}^a\sim ax;\\ & \sin x\sim \arcsin x\sim \tan x\sim \arctan x\sim x.\end{array}$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

一、题目

已知 $a,b,c$ 均为非零常数，则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a+b{e}^{\frac{1}{x}}}{a–b{e}^{\frac{1}{x}}}\cdot \frac{\sin cx}{|x|}=?$$

难度评级：

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且有 $f(1)=1$, 则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]$ $=$ $?$

难度评级：

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

1. 由已知式推导未知式；
2. 由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

一、题目

已知 $x_0$ $=$ $0$, 且 $x_n$ $=$ $\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1,2,3,\cdots$, 则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_n$ $=$ $?$

难度评级：

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2(\arctan \frac{2}{n}–\arctan \frac{2}{n+1})=?$$

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^a\ln (x^2+x)=?$$

其中，$a>0$.

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(2^{\frac{1}{x}}–2^{\frac{1}{x+1}})=?$$

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(e^{x^2}+x^3{)}^{\frac{1}{x^2}}=?$$

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1–\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{{\sin }^2{x}^2}=?$$

难度评级：

一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\to$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

难度评级：