一、题目
求解二重积分：
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y.
$$
难度评级：
继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题”标签： 高等数学练习题
交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限
一、题目
交换 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $+$ $\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序。
难度评级：
继续阅读“交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限”对二重积分交换积分次序的一个典型例题
一、题目
已知 $a>0$, 写出对二重积分 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 交换积分次序后的新式子。
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继续阅读“对二重积分交换积分次序的一个典型例题”求解二元隐函数的极值
一、题目
已知，隐函数 $z=z(x, y)>0$ 由方程式 $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $-$ $2 x$ $-$ $2 y$ $-$ $4 z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定，则 $z=z(x, y)$ 的极值是多少？
难度评级：
继续阅读“求解二元隐函数的极值”求解二元显函数的极值
注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ $=$ $\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定了二元函数 $z$ $=$ $z(x, y)$, 则 $z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ $=$ $?$
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继续阅读“注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子”复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入
一、题目
已知函数 $f(u, v)$ 可微, 另一个函数 $z$ $=$ $z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z$ $-$ $y^{2}$ $=$ $x^{2} f(x-z, y)$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
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继续阅读“复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入”对隐函数计算全微分
一、题目
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}$ $+$ $x y z$ $=$ $1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$
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继续阅读“对隐函数计算全微分”对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简
一、题目
已知函数 $u=f(x, y, z)$ $=$ $\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$, 其中 $z$ $=$ $z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z$ $=$ $0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)$ $=$ $?$
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继续阅读“对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简”由全微分反向积分求解原函数
一、题目
已知，函数 $f(x, y)$ 的全微分是：
$$
\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y
$$
则：
$$
f(x, y) = ?
$$
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继续阅读“由全微分反向积分求解原函数”用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}$ $=$ $1$, 其中 $a$, $b$, $c$ 均为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）”用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）
一、题目
已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 满足 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}$ $=$ $0$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）”逆向解题：由偏导数求解偏积分
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $=$ $x$ $+$ $y$, 且有 $f(x, 0)$ $=$ $x$, $f(0, y)$ $=$ $y^{2}$, 则 $f(x, y)$ $=$ $?$
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继续阅读“逆向解题：由偏导数求解偏积分”在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑
一、题目
已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x, y)$ $=$ $f(2 x+5 y)$ $+$ $g(2 x-5 y)$, 且：
$$
u(x, 0)=\sin 2 x
$$
$$
u_{y}^{\prime}(x, 0) = 0
$$
则 $f(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑”被根号隐藏的变限积分
一、题目
已知：
$$
z = \int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{~d} t
$$
且：
$$
0 \leqslant x \leqslant 1
$$
$$
0 \leqslant y \leqslant 1
$$
其中 $f(x)$ 为连续函数。
则：
$$
z_{x x}^{\prime \prime} + z_{y y}^{\prime \prime} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“被根号隐藏的变限积分”