伴随矩阵归档 - 荒原之梦

伴随矩阵的性质： $(A + B)^{}$ 与 $A^{}$ $+$ $B^{*}$ （C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

(A + B)^{*}

与

A^{*}

+

B^{*}

是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

不相等
$(A + B)^{*}$ $\neq$ $A^{*}$ $+$ $B^{*}$

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{}$ （C009）

问题

已知，矩阵

A

是三阶或者大于三阶的方阵，

n

为矩阵

A

的阶数，则

{(A^{*})}^{*}

=

?

选项

[A].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |

A

[B].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |^{n - 1}

A

[C].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |^{n - 2}

A

[D].

{(A^{*})}^{*}

=

\frac{1}{| A |^{n - 2}}

A

答案

${(A^{*})}^{*}$ $=$ ${| A |}^{n - 2}$ $A$
其中， $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数， $n$ $\geq$ $3$ .

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{T}$ 与 ${(A^{T})}^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

{(A^{*})}^{T}

与

{(A^{T})}^{*}

是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等
${(A^{*})}^{T}$ $=$ ${(A^{T})}^{*}$

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{- 1}$ 与 ${(A^{- 1})}^{}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，我们知道：

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

那么， ${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{- 1}{| A |} A

[B].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{1}{| A |^{2}} A

[C].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

| A | A

[D].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{1}{| A |} A

答案

${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$ $=$ $\frac{1}{| A |} A$

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{- 1}$ 与 ${(A^{- 1})}^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

{(A^{*})}^{- 1}

与

{(A^{- 1})}^{*}

是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等

${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$

伴随矩阵的性质： $A A^{}$ 与 $A^{} A$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，已知：

A A^{*}

=

A^{*} A

则， $A A^{*}$ $=$ $A^{*} A$ $=$ $?$

选项

[A].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

| A | E

[B].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

- | A | E

[C].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

E

[D].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

| A |

答案

$A A^{*}$ $=$ $A^{*} A$ $=$ $| A | E$

伴随矩阵的性质： $A$ $A^{}$ 与 $A^{}$ $A$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

A

A^{*}

与

A^{*}

A

是否相等

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
$A$ $A^{*}$ $=$ $A^{*}$ $A$

伴随矩阵的性质： $(A B)^{*}$ （C009）

问题

已知，矩阵

A

是二阶或者大于二阶的方阵，则

(A B)^{*}

=

?

选项

[A].

(A B)^{*}

=

B A

[B].

(A B)^{*}

=

B^{*} A^{*}

[C].

(A B)^{*}

=

A B

[D].

(A B)^{*}

=

A^{*} B^{*}

答案

$(A B)^{*}$ $=$ $B^{*} A^{*}$ $\neq$ $A^{*} B^{*}$

伴随矩阵的性质： $(k A)^{*}$ （C009）

问题

已知，矩阵

A

是二阶或者大于二阶的方阵，则

(k A)^{*}

=

?

选项

[A].

(k A)^{*}

=

k^{n + 1}

A^{*}

[B].

(k A)^{*}

=

k^{n}

A^{*}

[C].

(k A)^{*}

=

k^{n - 1}

A

[D].

(k A)^{*}

=

k^{n - 1}

A^{*}

答案

$(k A)^{*}$ $=$ $k^{n - 1}$ $A^{*}$

伴随矩阵的性质： $| A^{*} |$ （C009）

问题

已知，矩阵

A

是二阶或者大于二阶的方阵，则

| A^{*} |

=

?

选项

[A].

| A^{*} |

=

| A |

[B].

| A^{*} |

=

| A |^{n + 1}

[C].

| A^{*} |

=

| A |^{n}

[D].

| A^{*} |

=

| A |^{n - 1}

答案

$| A^{*} |$ $=$ $| A |^{n - 1}$

伴随矩阵的计算（C009）

问题

已知，有矩阵

Z

=

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]

, 且

M_{i j}

表示该矩阵第

i

行第

j

列的余子式，

A_{i j}

表示该矩阵第

i

行第

j

列的代数余子式。
则，该矩阵的伴随矩阵

Z^{*}

=

?

选项

[A].

Z^{*}

=

[\begin{matrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{matrix}]

[B].

Z^{*}

=

[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}]

[C].

Z^{*}

=

[\begin{matrix} M_{11} & M_{21} \\ M_{12} & M_{22} \end{matrix}]

[D].

Z^{*}

=

[\begin{matrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{matrix}]

答案

$Z^{*}$ $=$ $[\begin{matrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{matrix}]$

伴随矩阵的表示符号（C009）

问题

一般情况下，用什么符号表示伴随矩阵？

选项

[A].

A^{-}

[B].

A^{⊤}

[C].

A^{*}

[D].

A^{+}

答案

$A^{*}$

生成伴随矩阵需要经过转置运算吗（C009）

问题

生成伴随矩阵的过程中需要经过转置运算吗？

选项

[A]. 不需要

[B]. 需要

答案

需要

构成伴随矩阵的元素是什么？（C009）

问题

构成原矩阵的伴随矩阵的元素被称为原矩阵的什么？

选项

[A]. 代数余子式

A_{i j}

[B]. 余子式

M_{i j}

答案

代数余子式 $A_{i j}$

余子式的定义；
代数余子式的定义

生成伴随矩阵的前提条件（C009）

问题

以下哪个矩阵具有伴随矩阵？

选项

[A].

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]

[B].

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}]

[C].

[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]

[D].

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

答案

只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才有伴随矩阵：
$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$