伴随矩阵的性质:$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$ 是否相等?

选项

[A].   不相等

[B].   相等


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不相等
$(\boldsymbol{A} \textcolor{cyan}{+} \boldsymbol{B})^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质:$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$(C009)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是三阶或者大于三阶的方阵,$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数,则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-2}$ $\boldsymbol{A}$

[B].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n-2}}$ $\boldsymbol{A}$

[C].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}$

[D].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$


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$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$ $=$ $\textcolor{red}{|\boldsymbol{A}|}^{\textcolor{cyan}{n-2}}$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{A}}$
其中,$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数,$n$ $\geq$ $3$.

伴随矩阵的性质:$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}$ 的关系(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}$ 是否相等?

选项

[A].   不相等

[B].   相等


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相等
$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质:$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 的值(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,我们知道:
$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$

那么,$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{2}} \boldsymbol{A}$

[B].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}$

[C].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

[D].   $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$


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$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质:$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 的关系(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 是否相等?

选项

[A].   不相等

[B].   相等


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相等

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{gray}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{gray}{-1}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质:$\boldsymbol{A A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ 的值(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,已知:
$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$

则,$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[B].   $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[C].   $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

[D].   $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $- |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$


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$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$

伴随矩阵的性质:$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $\boldsymbol{A}$ 的关系(C009)

问题

根据伴随矩阵的性质,$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $\boldsymbol{A}$ 是否相等

选项

[A].   

[B].   


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$\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质:$(\boldsymbol{A B})^{*}$(C009)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵,则 $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

[B].   $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$

[C].   $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

[D].   $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$


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$(\boldsymbol{A B})^{\textcolor{cyan}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{cyan}{*}} \boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

伴随矩阵的性质:$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$(C009)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵,则 $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[B].   $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

[C].   $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[D].   $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n+1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$


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$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{\textcolor{red}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{\textcolor{orange}{n-1}}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质:$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$(C009)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵,则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A].   $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[B].   $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

[C].   $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[D].   $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$


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$\left|\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\textcolor{orange}{n-1}}$

伴随矩阵的计算(C009)

问题

已知,有矩阵 $Z$ $=$ $\begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{2 1} & a_{2 2} \end{bmatrix}$, 且 $M_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式,$A_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的代数余子式。
则,该矩阵的伴随矩阵 $Z^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{1 2} \\ M_{2 1} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[B].   $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{1 2} \\ A_{2 1} & A_{2 2} \end{bmatrix}$

[C].   $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{2 1} \\ M_{1 2} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[D].   $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{2 1} \\ A_{1 2} & A_{2 2} \end{bmatrix}$


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$Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{1}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{1}} \\ \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{2}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{2}} \end{bmatrix}$

生成伴随矩阵的前提条件(C009)

问题

以下哪个矩阵具有伴随矩阵?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$


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只有方阵(行数和列数相等的矩阵)才有伴随矩阵:
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$


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