标签： 特殊的矩阵

$($ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{B}$ $)$ $+$ $\mathit{C}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $($ $\mathit{B}$ $+$ $\mathit{C}$ $)$z~$($ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{B}$ $)$ $+$ $\mathit{C}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $($ $\mathit{B}$ $+$ $\mathit{C}$ $)$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 4& 2& 8\end{array}\right)$

矩阵相加就是把矩阵对应位置的元素相加。

$\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 0\\ 2& 0& 7\\ 0& -7& 0\end{array}\right)$

满足 ${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$ $=$ $-\mathit{A}$, 即 $a_{ij}$ $=$ $-a_{ji}$ 且 $a_{ii}$ $=$ $0$ 的矩阵都是反对称矩阵——关于全为零的主对角线对称位置上的元素相反。

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 0& 7\\ 0& 7& 5\end{array}\right)$

满足 ${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$ $=$ $\mathit{A}$, 即 $a_{ij}$ $=$ $a_{ji}$ 的矩阵都是对称矩阵——关于主对角线对称位置上的元素相等。

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 9& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

下三角矩阵定义的标准版：
$n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ $=$ ${\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$, 当 $i$ $<$ $j$ 时，$a_{ij}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $2$, $3$, $\cdots$, $n$ $)$ 的矩阵称为下三角矩阵. 下三角矩阵定义的简易版：
主对角线上方（不包括主对角线）区域的元素全为零的矩阵就是下三角矩阵.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 7& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

上三角矩阵定义的标准版：
$n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ $=$ ${\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$, 当 $i$ $>$ $j$ 时，$a_{ij}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $-$ $1$ $)$ 的矩阵称为上三角矩阵.

上三角矩阵定义的简易版：
主对角线下方（不包括主对角线）区域的元素全为零的矩阵就是上三角矩阵.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

除了主对角线之外的区域上的元素全部为零的矩阵就是对角矩阵，形如：
$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

对角矩阵一般记作：$\mathbf{\Lambda }$

$\left[\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right]$

主对角线上的元素全为 $k$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为数量矩阵：
$\left(\begin{array}{llll}k& 0& \cdots & 0\\ 0& k& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & k\end{array}\right)$

数量矩阵一般记作 $kE$.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

主对角线上的元素全为 $1$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为单位矩阵：
$\left(\begin{array}{llll}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

零矩阵就是矩阵内元素都为 $0$ 的矩阵，记作：$O$

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

$\left[\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{array}\right]$

形如下面的矩阵可以被称为 $n$ 阶方阵或者 $n$ 阶矩阵，记作 $A$ 或者 $A_n$：
$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$