计算抽象型行列式的常用公式归档

方阵相加的行列式与方阵行列式的相加（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则，根据行列式的性质，$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ 与 $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$ 之间有什么关系？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $=$ $\frac{1}{n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $\frac{1}{n}$ $|\boldsymbol{B}|$

[B]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[C]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|^{n}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

答案

$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

相似方阵之间行列式的关系（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则，行列式 $A$ 与 $B$ 之间有什么关系？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{B}|$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{B}|}$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $- |\boldsymbol{B}|$

答案

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$

特征值与行列式的计算（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，其中 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\cdots$, $\lambda_{n}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值，则 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{1}{n}$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $+$ $\lambda_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\lambda_{n}$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_{n}}$

答案

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

伴随方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $n$ $\geq$ $2$, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $n |\boldsymbol{A}|$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

逆方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$可逆方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $- |\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n}}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

$k$ 阶方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $(-1)^{k} |\boldsymbol{A}|^{k}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $k |\boldsymbol{A}|$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{k}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\frac{1}{k}}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{k}$

方阵的交换律与行列式的计算（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则，根据方阵的交换律，
$|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$

[B]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\times$ $|\boldsymbol{B}|$

[C]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $-$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$

答案

$|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

常数与 $n$ 阶行列式的运算关系（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 为常数，则 $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $-$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $(\frac{1}{\lambda})^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

[C]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda^{n-1}$ $|\boldsymbol{A}|$

答案

$|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

$n$ 阶行列式的转置行列式（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{A}|$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $(-1)^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $- |\boldsymbol{A}|$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$