计算抽象型行列式的常用公式归档

方阵相加的行列式与方阵行列式的相加（C005）

问题

已知

A

B

均为

n

阶方阵，则，根据行列式的性质，

| A + B |

与

| A |

+

| B |

之间有什么关系？

选项

[A].

| A + B |^{n}

=

| A |

+

| B |

[B].

| A + B |

=

\frac{1}{n}

| A |

+

\frac{1}{n}

| B |

[C].

| A + B |

=

| A |

+

| B |

[D].

| A + B |

\neq

| A |

+

| B |

答案

$| A + B |$ $\neq$ $| A |$ $+$ $| B |$

相似方阵之间行列式的关系（C005）

问题

已知

A

B

均为

n

阶方阵，若

A

与

B

相似，则，行列式

A

与

B

之间有什么关系？

选项

[A].

| A |

\neq

| B |

[B].

| A |

=

| B |

[C].

| A |

=

\frac{1}{| B |}

[D].

| A |

=

- | B |

答案

$| A |$ $=$ $| B |$

特征值与行列式的计算（C005）

问题

已知

A

为

n

阶方阵，其中

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

是

A

的

n

个特征值，则

| A |

=

?

选项

[A].

| A |

=

λ_{1}

\times

λ_{2}

\times

\dots

\times

λ_{n}

[B].

| A |

=

\frac{λ_{1}}{λ_{2}}

\times

\dots

\times

\frac{λ_{n - 1}}{λ_{n}}

[C].

| A |

=

\frac{1}{n}

λ_{1}

\times

λ_{2}

\times

\dots

\times

λ_{n}

[D].

| A |

=

λ_{1}

+

λ_{2}

+

\dots

+

λ_{n}

答案

$| A |$ $=$ $λ_{1}$ $\times$ $λ_{2}$ $\times$ $\dots$ $\times$ $λ_{n}$

伴随方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知

A

为

n

阶方阵，且

n

\geq

2

A^{*}

为

A

的伴随方阵，则

| A^{*} |

=

?

选项

[A].

| A^{*} |

=

n | A |

[B].

| A^{*} |

=

| A |^{n + 1}

[C].

| A^{*} |

=

| A |^{n}

[D].

| A^{*} |

=

| A |^{n - 1}

答案

$| A^{*} |$ $=$ $| A |^{n - 1}$

逆方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知

A

为

n

可逆方阵，则

| A^{- 1} |

=

?

选项

[A].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |}

[B].

| A^{- 1} |

=

(- 1)^{n}

\frac{1}{| A |}

[C].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |^{n}}

[D].

| A^{- 1} |

=

- | A |

答案

$| A^{- 1} |$ $=$ $\frac{1}{| A |}$

$k$ 阶方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知

A

为

n

阶方阵，则

| A^{k} |

=

?

选项

[A].

| A^{k} |

=

k | A |

[B].

| A^{k} |

=

| A |^{k}

[C].

| A^{k} |

=

| A |^{\frac{1}{k}}

[D].

| A^{k} |

=

(- 1)^{k} | A |^{k}

答案

$| A^{k} |$ $=$ $| A |^{k}$

方阵的交换律与行列式的计算（C005）

问题

已知

A

B

均为

n

阶方阵，则，根据方阵的交换律，

| A B |

=

?

选项

[A].

| A B |

=

| B A |

[B].

| A B |

=

| A |

\times

| B |

[C].

| A B |

=

| A |

+

| B |

[D].

| A B |

=

-

| B A |

答案

$| A B |$ $=$ $| B A |$ $=$ $| A | | B |$

常数与 $n$ 阶行列式的运算关系（C005）

问题

已知

A

为

n

阶方阵，

λ

为常数，则

| λ A |

=

?

选项

[A].

| λ A |

=

(\frac{1}{λ})^{n}

| A |

[B].

| λ A |

=

| A |

[C].

| λ A |

=

λ^{n - 1}

| A |

[D].

| λ A |

=

-

| A |

答案

$| λ A |$ $=$ $λ^{n}$ $| A |$

$n$ 阶行列式的转置行列式（C005）

问题

已知

A

为

n

阶方阵，则

| A^{T} |

=

?

选项

[A].

| A^{T} |

=

- | A |

[B].

| A^{T} |

=

| A |

[C].

| A^{T} |

=

| A |

| A |

[D].

| A^{T} |

=

(- 1)^{n}

| A |

答案

$| A^{T} |$ $=$ $| A |$