一、题目
已知 $M(x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}(x \geq 0)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点.记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}(x \geq x_{0})$, 线段 $OM$ 及 $X$ 轴正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $X$ 轴旋转所成旋转体的体积.
二、解析
求解本题的第一步，就是要绘制一个示意图. 但是，需要注意的是，题目所说的区域 $D$, 并不是如图 01 所示的区域 $D^{\prime}$:
题目所说的区域 $D$ 是如图 02 所示的区域 $D$:
由于我们目前不知道点 $M$ 的坐标，只知道该点是一个拐点，所以也就不能直接确定线段 $OM$ 的形式.
因此，接下来，我们要首先求解出点 $M$ 的坐标.
由于点 $M$ 是一个拐点，所以先求解其二阶导函数：
$$
\begin{aligned}
& \ y^{\prime} = -\frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ y^{\prime \prime} = \frac{6x^{2} – 2}{(1 + x^{2})^{3}}
\end{aligned}
$$
接着，令 $y^{\prime \prime} = 0$ 且 $x_{0} > 0$, 得：
$$
x_{0} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad y_{0} = \frac{3}{4}
$$
于是，由线段 $OM$ 的两个端点值 $O(0,0)$ 和 $M(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$ 可得嫌短 $OM$ 的表达式为：
$$
y = \frac{3}{4}\sqrt{3}x, \quad x \in \left[0, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]
$$
于是，我们可以绘制出如图 03 所示的示意图，在计算旋转体体积的时候，需要分 $[0, \frac{1}{\sqrt{3}}]$ 和 $[\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$ 这两段分别求解：
接着，由旋转体体积的计算公式，可知，区域 $D$ 绕坐标轴 $X$ 轴旋转，所得的旋转体的体积为：
$$
V = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \pi \cdot \left( \frac{3}{4}\sqrt{3}x \right)^{2} \mathrm{~d} x + \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{+\infty} \pi \cdot \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \pi \left( \frac{3}{4} \sqrt{3} x \right)^{2} \mathrm{~d} x} & = \frac{27}{16} \pi \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{27}{16} \pi \cdot \frac{1}{3} x^{3} \Bigg|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ \\
& = \frac{27}{16} \pi \cdot \frac{1}{9 \sqrt{3}} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{\frac{\sqrt{3}}{16} \pi}
\end{aligned}
$$
对于 $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{+\infty} \pi \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x$, 令 $x = \tan \theta$, 则：
$$
\theta \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}), \quad \mathrm{d} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{+\infty} \pi \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x} & = \pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\left( 1+\tan ^{2} \theta \right)^{2}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\left( \frac{1}{\cos^{2} \theta} \right)^{2}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4} \theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \mathrm{~d}\theta \\ \\
& = \pi \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ \\
& = \pi \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\sin \pi}{4} – \frac{\pi}{12} – \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{4} \right) \\ \\
& = \pi \left( \frac{\pi}{6} – \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ \\
& = \frac{\pi^{2}}{6} – \frac{\sqrt{3}}{8}\pi \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{\frac{\pi^{2}}{6} + \left( -\frac{\sqrt{3}}{8} \pi \right)}
\end{aligned}
$$
综上可知：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{V} & = \frac{\sqrt{3}}{16} \pi + \frac{1}{6} \pi^{2} – \frac{\sqrt{3}}{8} \pi \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{6} \pi^{2} – \frac{\sqrt{3}}{16} \pi }
\end{aligned}
$$
三、拓展
对本文的求解，并不需要计算出旋转所得曲面的表达式，但对这部分内容感兴趣的同学，可以查阅《如何由平面曲线函数得到其绕指定轴线旋转所得曲面的函数？》这篇讲义.
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»A« $(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{3} = \boldsymbol{O}$