一、题目
设 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x = \ln 2$, 则 $a = \underline{\qquad}$.
难度评级：
二、解析
$$
\begin{aligned}
\ln 2 & = \int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)} \mathrm{~d} x \\ \\
& = 2\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{2x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d}x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+a}\right)\mathrm{~d}\left(2x\right) \\ \\
& = \ln \left. \left| 2x \right| \right|_{1}^{+\infty} – \ln \left. \left| 2x+a \right| \right|_{1}^{+\infty} \\ \\
& = \ln \left. \left| \frac{2x}{2x+a} \right| \right|_{1}^{+\infty} \\ \\
& = \ln 1 -\ln \left| \frac{2}{2+a} \right| \\ \\
& = -\ln \left| \frac{2}{2+a} \right| \\ \\
& = \ln \left| \frac{2}{2+a} \right|^{-1} \\ \\
& = \ln \left| \frac{2+a}{2} \right| \\ \\
& =\ln \left| 1+\frac{a}{2}\right|
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
& \ \left| 1+\frac{a}{2} \right| = 2 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
a = 2 \\
a = -6
\end{cases}
\end{aligned}
$$
接下来，我们需要对 $a = -6$ 时和 $a = 2$ 时，积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x$ 是否收敛做出判断：
首先，只有积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x$ 收敛时，才可能等于 $\ln 2$. 此外，通过接下来的判断可知，当 $a = -6$ 时，积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x$ 发散，因此，在题目的语境下，当 $a = 2$ 时，积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x$ 一定收敛，所以，在考试的时候，只用判断 $a = -6$ 或者 $a = 2$ 这两个条件之一对应的积分的敛散性即可.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $a = -6$ 时：
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)} \mathrm{~d} x & = \int_{1}^{+\infty}\frac{-6}{x\left(2x-6\right)}\mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{被积函数在} x=3 \text{处无定义}} \\ \\
& = \int_{1}^{3} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x + \int_{3}^{+ \infty} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
其中：
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{3} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x & = \lim_{a \to 3^{-}} \int_{1}^{a} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \lim_{a \to 3^{-}} \int_{1}^{a} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x-3} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \lim_{a \to 3^{-}} \left[ \ln \left| x \right| – \ln \left| x-3 \right| \right] \Big|_{1}^{a}
\end{aligned}
$$
又因为，当 $a \to 3^{-}$ 的时候，$\left| a-3 \right| \to 0$, 此时：
$$
– \ln \left| x-3 \right| \to + \infty
$$
所以，积分 $\int_{1}^{3} \frac{-3}{x \left( x-3 \right)} \mathrm{~d} x$ 发散，于是，积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{-6}{x\left(2x-6\right)}\mathrm{~d} x$ 发散.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $a = 2$ 时：
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)} \mathrm{~d} x & = \int_{1}^{+\infty} \frac{2}{x\left(2x+2\right)}\mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \left( x+1 \right)} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} \right) \\ \\
& = \left[ \ln \left| x \right| – \ln \left| x+1 \right| \right] \Big|_{1}^{+\infty}
\end{aligned}
$$
由于当 $x \to = \infty$ 时，$\ln \left| x \right|$ 和 $\ln \left| x+1 \right|$ 的极限都存在，当 $x = 1$ 时，$\ln \left| x \right|$ 和 $\ln \left| x+1 \right|$ 的极限也都存在，所以，积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{2}{x\left(2x+2\right)}\mathrm{~d} x$ 收敛.
综上可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
a = 2
}
$$