2025年考研数二第14题解析：参数方程求导

一、题目

难度评级：

二、解析

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在 $x = \ln \left( 1 + 2 t \right)$ 等号两边，同时对 $t$ 求导，得：

$$
\begin{align}
& \ x ^{\prime} = \frac{2}{1+2t} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{2}{1+2t} \tag{1}
\end{align}
$$

将 $t = 0$ 代入上面的 $(1)$ 式，得：

$$
\left. \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} = 2 \tag{2}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在 $2 t – \int_{1}^{y + t^{2}} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d}u = 0$ 等号两边，同时对 $t$ 求导，得：

$$
\begin{align}
& \ 2-\mathrm{e}^{-\left(y+t^{{2}}\right)^{{2}}} \cdot \left( y^{\prime} + 2t \right) = 0 \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ 2-\mathrm{e}^{-\left(y+t^{{2}}\right)^{{2}}} \cdot \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + 2t \right) = 0 \tag{3}
\end{align}
$$

接着，将 $t=0$ 代入 $2 t – \int_{1}^{y + t^{2}} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d}u = 0$, 得：

$$
y = 1
$$

将 $t=0$, $y=1$ 代入上面的 $(3)$ 式，得：

$$
\begin{align}
& \ 2-\mathrm{e}^{-1}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 0 \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left. \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} = 2 \mathrm{e} \tag{4}
\end{align}
$$

结合参数方程的求导公式，以及上面的 $(2)$ 式和 $(4)$ 式，可得：

$$
\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{{t = 0}} = \frac{\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right|_{{t = 0}}}{\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{{t = 0}}} = \frac{2 \mathrm{e}}{2} = \mathrm{e}
$$

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