一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y = ?
$$
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继续阅读“换个角度，柳暗花明：交换积分次序”标签： 高等数学练习题
当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解
一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y = ?
$$
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继续阅读“当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解”当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如 这道题 。
交换极坐标系下二重积分的积分次序
一、题目
交换如下二重积分的积分次序：
$$
I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r = ?
$$
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继续阅读“交换极坐标系下二重积分的积分次序”使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题
一、题目
$$
I=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题”使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题
一、题目
求解二重积分：
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y.
$$
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继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题”交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限
一、题目
交换 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $+$ $\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序。
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继续阅读“交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限”对二重积分交换积分次序的一个典型例题
一、题目
已知 $a>0$, 写出对二重积分 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 交换积分次序后的新式子。
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继续阅读“对二重积分交换积分次序的一个典型例题”求解二元隐函数的极值
一、题目
已知，隐函数 $z=z(x, y)>0$ 由方程式 $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $-$ $2 x$ $-$ $2 y$ $-$ $4 z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定，则 $z=z(x, y)$ 的极值是多少？
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继续阅读“求解二元隐函数的极值”求解二元显函数的极值
注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ $=$ $\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定了二元函数 $z$ $=$ $z(x, y)$, 则 $z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ $=$ $?$
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继续阅读“注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子”复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入
一、题目
已知函数 $f(u, v)$ 可微, 另一个函数 $z$ $=$ $z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z$ $-$ $y^{2}$ $=$ $x^{2} f(x-z, y)$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
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继续阅读“复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入”对隐函数计算全微分
一、题目
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}$ $+$ $x y z$ $=$ $1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$
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继续阅读“对隐函数计算全微分”对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简
一、题目
已知函数 $u=f(x, y, z)$ $=$ $\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$, 其中 $z$ $=$ $z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z$ $=$ $0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)$ $=$ $?$
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继续阅读“对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简”由全微分反向积分求解原函数
一、题目
已知，函数 $f(x, y)$ 的全微分是：
$$
\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y
$$
则：
$$
f(x, y) = ?
$$
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继续阅读“由全微分反向积分求解原函数”用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}$ $=$ $1$, 其中 $a$, $b$, $c$ 均为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）”