标签： 高等数学基础

一、充分条件

若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（$B$ 的充分不必要条件是 $A$.）。

从集合的角度看，就是 $A \in B$, 如图 1：

一、题目

若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件，则 ( )

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

二、解析

我们知道，$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.

于是，我们知道，$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.

接下来，根据概率的基本性质中的可比性：

设 $A$, $B$ 是两个事件，若 $A$ $\subset$ $B$, 则有：

$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

于是，我们知道：

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

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