考研数学二归档 - 第137页共141页 - 荒原之梦

2014年考研数二第22题解析：齐次与非齐次线性方程组求解

题目

设 $A = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 3 \end{matrix}]$ , $E$ 为三阶单位矩阵.

$(Ⅰ)$ 求方程组 $A X = 0$ 的一个基础解系.

$(Ⅱ)$ 求满足 $A B = E$ 的所有矩阵 $B$ .

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2014年考研数二第21题解析：旋转体的体积、偏导数

题目

已知函数 $f (x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2 (y + 1)$ , 且 $f (y, y) =$ $(y + 1)^{2} -$ $(2 - y) \ln y$ , 求曲线 $f (x, y) = 0$ 所围图形绕直线 $y = - 1$ 旋转所成旋转体的体积.

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2014年考研数二第20题解析：极限、数列、数学归纳法

题目

设函数 $f (x) =$ $\frac{x}{1 + x}$ , $x \in [0, 1]$ , 定义数列：

$f_{1} (x) = f (x),$

$f_{2} (x) = f [f_{1} (x)],$

$\cdot \cdot \cdot,$

$f_{n} (x) = f [f_{n - 1} (x)],$

$\cdot \cdot \cdot$

记 $S_{n}$ 是曲线 $y = f_{n} (x)$ , 直线 $x = 1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $lim_{n \to \infty} n S_{n}$ .

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2014年考研数二第19题解析：变上限积分、函数的单调性、积分中值定理

题目

设 $f (x)$ , $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f (x)$ 单调增加， $0 ⩽ g (x) ⩽ 1$ , 证明：

$(Ⅰ)$ $0 ⩽ \int_{a}^{x} g (t) d t$ $⩽ x - a$ , $x \in [a, b]$ ;

$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a + \int_{a}^{b} g (t) d t} f (x) d x$ $⩽$ $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ .

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2014年考研数二第18题解析：偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程

题目

设函数 $f (u)$ 二阶连续可导， $z = f (e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ $= (4 z + e^{x} \cos y) e^{2 x}$ , 若 $f (0) = 0$ , $f^{‘} (0) = 0$ , 求 $f (u)$ 的表达式.

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2014年考研数二第17题解析：二重积分、极坐标系

题目

设平面区域 $D =$ ${(x, y) |$ $1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4$ , $x ⩾ 0$ , $y ⩾ 0}$ , 计算：

$\iint_{D} \frac{x \sin (π \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{x + y} d x d y .$

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解析

根据题目可知，积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0, 0)$ , 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的，如图 01 所示：

2014年考研数二第17题解析：二重积分、极坐标系_荒原之梦 — 图 01.

2014年考研数二第16题解析：一阶线性微分方程求极值、求导

题目

已知函数 $y = y (x)$ 满足微分方程 $x^{2} + y^{2} y^{‘} = 1 - y^{‘}$ , 且 $y (2) = 0$ , 求 $y = y (x)$ 的极大值与极小值.

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2014年考研数二第15题解析：极限、等价无穷小、麦克劳林公式

题目

求极限：

$lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{1}^{x} [t^{2} (e^{\frac{1}{t}} - 1) - t] d t}{x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})} .$

2013年考研数二第23题解析：二次型、二次型的标准型

题目

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} +$ $(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2}$ ,

记 $α = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$ , $β = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]$ ,

$(Ⅰ)$ 证明：二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$

$(Ⅱ)$ 若 $α$ , $β$ 正交且均为单位向量，证明： $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .

2013年考研数二第22题解析：矩阵、非齐次线性方程组求解

题目

设 $A = [\begin{matrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ , $B = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & b \end{matrix}]$ ,

当 $a$ , $b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C - C A = B$ , 并求所有矩阵 $C$ .

2013年考研数二第21题解析：平面曲线的弧长、平面图形的形心

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln x$ $(1 ⩽ x ⩽ e)$ .

$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长；

$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$ , 直线 $x = 1$ , $x = e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.

$x \ln x$ 的原函数是多少？

$x \ln x$ 的原函数是 $\frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , 即：

$\int x \ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C, 其中 C 为任意常数。$

$\ln x$ 的原函数是多少？

$\ln x$ 的原函数是 $x \ln x - x + C$ , 即：

$\int \ln x d x = x \ln x - x + C, 其中 C 为任意常数。$

2013年考研数二第20题解析：导数与最值、数列极限的判定与求解

题目

设函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{x}$ .

$(Ⅰ)$ 求 $f (x)$ 的最小值；

$(Ⅱ)$ 设数列 $x_{n}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n + 1}} < 1$ . 证明 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

2013年考研数二第19题解析：拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^{3} - x y + y^{3} = 1$ $(x ⩾ 0, y ⩾ 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。