2014年考研数二第23题解析:矩阵相似性、矩阵相似对角化

题目

证明:$n$ 阶矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 2\\
\vdots & & \vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & n
\end{bmatrix}$ 相似.

解析

首先,令:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix};
$$

$$
B = \begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 2\\
\vdots & & \vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & n
\end{bmatrix}.
$$

分析可知,如果矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似,则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值和相同的秩,但是,假如我们只知道 $A$ 与 $B$ 的特征值和秩相同,是不能得到 $A$ 与 $B$ 相似的结论的。

也就是说,仅仅依靠相似矩阵本身的性质,是无法解答本题的,我们必须引入关于矩阵相似的其他性质。

涉及矩阵相似的另一个性质就是“相似对角化”,即如果一个矩阵可以对角化,那么,原矩阵和其对角矩阵互为相似矩阵。

于是,我们就有了解答本题的一个思路:

第一步:判断矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是否可以对角化;

第二步:如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可以对角化,那么,他们的对应的对角矩阵是否完全相等;

第三步:如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 对应的对角矩阵完全相等,即,若有 $A \sim \Lambda$ 且 $B \sim \Lambda$, 则 $A \sim B$ 一定成立。

注:

[1]. 按照惯例,在本文中,使用希腊字母 $\Lambda$ 表示一个对角矩阵.

一、求解矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的特征值

虽然矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵,但是,矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是有规律的矩阵。对于这样的矩阵,我们可以先利用规律与之相同,但是阶数有限的矩阵去计算,通过分析计算结果呈现出来的规律完成对原来的 $n$ 阶矩阵的求解。

于是,可令:

$$
a = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix};
$$

$$
b = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}.
$$

接着,有:

$$
|\lambda E – a| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -1 & -1\\
-1 & \lambda-1 & -1\\
-1 & -1 & \lambda-1
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-3 & \lambda-3 & \lambda-3\\
\lambda-3 & \lambda-3 & \lambda-3\\
\lambda-3 & \lambda-3 & \lambda-3
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-3 & -3 & -3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = 0; \lambda_{2} = 0; \lambda_{3} = 3.
$$

$$
|\lambda E – b| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 0 & -1\\
0 & \lambda & -2\\
0 & 0 & \lambda – 3
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 0 & \lambda-1\\
0 & \lambda & \lambda-2\\
0 & 0 & \lambda – 3
\end{vmatrix} = 0 ① \Rightarrow
$$

注:

[1]. $①$ 式是一个上对角行列式,其值等于主对角线上元素的乘积。

$$
\lambda^{2} (\lambda – 3) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = 0; \lambda_{2} = 0; \lambda_{3} = 3.
$$

通过对上面的计算结果进行合理推广可知:

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 而言,其特征值为:

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = \cdots = \lambda_{n-1} = 0; \lambda_{n} = n.
$$

对于 $n$ 阶矩阵 $B$ 而言,其特征值为:

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = \cdots = \lambda_{n-1} = 0; \lambda_{n} = n.
$$

即,矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 具有相同的特征值。

二、判断矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是否可以对角化

根据 $n$ 阶矩阵可以对角化的充分条件可知,由于矩阵 $A$ 是一个实对称矩阵,即 $A^{\top} = A$, 于是,矩阵 $A$ 可以对角化。

对矩阵 $B$ 进行化简可知:

$$
r(B) = 1.
$$

于是:

$$
r(0 \cdot E – B) = r(B) = 1.
$$

进而可知,矩阵 $B$ 的 $n-1$ 重特征值 $0$ 有 $n-1$ 个线性无关的特征向量,根据矩阵对角化的条件可知,矩阵 $B$ 可以对角化。

三、得出结论

综上可知,矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 具有相同的特征值,且矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可以对角化,因此,矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 拥有同样的对角矩阵:

$$
\Lambda = \begin{bmatrix}
0 & & & \\
& 0 & & \\
& & \ddots & \\
& & & n
\end{bmatrix}.
$$

即:

$$
A \sim \Lambda; B \sim \Lambda.
$$

于是:

$$
A \sim B.
$$

从而,$n$ 阶矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 2\\
\vdots & & \vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & n
\end{bmatrix}$ 相似,得证。