2014年考研数二第16题解析：一阶线性微分方程求极值、求导

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^2+y^2{y}^{‘}=1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

解析

$$x^2+y^2{y}^{‘}=1-y^{‘}\Rightarrow$$

$$x^2+y^2\frac{dy}{dx}=1–\frac{dy}{dx}\Rightarrow$$

$$y^2\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}=1–x^2\Rightarrow$$

$$(y^2+1)\frac{dy}{dx}=1-x^2\Rightarrow$$

$$(y^2+1)dy=(1-x^2)dx\Rightarrow$$

$$\int (y^2+1)dy=\int (1-x^2)dx\Rightarrow$$

$$\frac{1}{3}{y}^3+y=x–\frac{1}{3}{x}^3+C.$$

将 $y(2)=0$, 即 $x=2$ 时，$y=0$ 代入上式，可得：

$$0=2-\frac{8}{3}+C\Rightarrow$$

$$\frac{-2}{3}+C=0\Rightarrow$$

$$C=\frac{2}{3}.$$

因此，函数 $y=y(x)$ 可表示为：

$$\frac{1}{3}{y}^3+y=x–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}.$$

对上式中的自变量 $x$ 求导，可得：

$$y^2{y}^{‘}+y^{‘}=1-x^2\Rightarrow$$

$$(y^2+1)y^{‘}=1-x^2\Rightarrow$$

$$y^{‘}=\frac{1-x^2}{1+y^2}\Rightarrow$$

$$y^{”}=\frac{-2x(1+y^2)–2y{y}^{‘}(1-x^2)}{(1+y^2{)}^2}.$$

若令 $y^{‘}=0$, 则：

$$1-x^2=0\Rightarrow$$

$$x=\pm 1.$$

将 $x=1$ 带入 $\frac{1}{3}{y}^3+y=$ $x–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}$, 可得：

$$\frac{1}{3}{y}^3(1)+y(1)=1-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{3}{y}^3(1)+y(1)=\frac{4}{3}\Rightarrow$$

$$y(1)=1.$$

将 $x=-1$ 带入 $\frac{1}{3}{y}^3+y=$ $x–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}$, 可得：

$$\frac{1}{3}{y}^3(-1)+y(-1)=-1+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{3}{y}^3(-1)+y(-1)=0\Rightarrow$$

$$y(-1)=0.$$

接着，将 $x=1$, $y(1)=1$ 带入 $y^{”}=$ $\frac{-2x(1+y^2)–2y{y}^{‘}(1-x^2)}{(1+y^2{)}^2}$, 可得：

$$y^{”}(1)=\frac{-2(1+1)-0}{(1+1{)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{”}(1)=\frac{-4}{4}=-1<0.$$

因此，当 $x=1$ 时，$y=y(x)$ 取得极大值，极大值为 $y(1)=1$.

同样的，将 $x=-1$, $y(-1)=0$ 带入 $y^{”}=$ $\frac{-2x(1+y^2)–2y{y}^{‘}(1-x^2)}{(1+y^2{)}^2}$, 可得：

$$y^{”}(-1)=\frac{2(1+0)}{1^2}\Rightarrow$$

$$y^{”}(-1)=2>0$$

因此，当 $x=-1$ 时，$y=y(x)$ 取得极小值，极小值为 $y(-1)=0$.