题目
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.
解析
$$
x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘} \Rightarrow
$$
$$
x^{2} + y^{2} \frac{dy}{dx} = 1 – \frac{dy}{dx} \Rightarrow
$$
$$
y^{2} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 – x^{2} \Rightarrow
$$
$$
(y^{2}+1)\frac{dy}{dx} = 1-x^{2} \Rightarrow
$$
$$
(y^{2} + 1)dy = (1-x^{2}) dx \Rightarrow
$$
$$
\int (y^{2}+1) dy = \int (1-x^{2}) dx \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{3} y^{3} + y = x – \frac{1}{3} x^{3} + C.
$$
将 $y(2)=0$, 即 $x=2$ 时，$y=0$ 代入上式，可得：
$$
0=2-\frac{8}{3} + C \Rightarrow
$$
$$
\frac{-2}{3} + C = 0 \Rightarrow
$$
$$
C = \frac{2}{3}.
$$
因此，函数 $y=y(x)$ 可表示为：
$$
\frac{1}{3} y^{3} + y = x – \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3}.
$$
对上式中的自变量 $x$ 求导，可得：
$$
y^{2} y^{‘} + y^{‘} = 1-x^{2} \Rightarrow
$$
$$
(y^{2}+1)y^{‘} = 1-x^{2} \Rightarrow
$$
$$
y^{‘} = \frac{1-x^{2}}{1+y^{2}}\Rightarrow
$$
$$
y^{”} = \frac{-2x(1+y^{2}) – 2yy^{‘}(1-x^{2})}{(1+y^{2})^{2}}.
$$
若令 $y^{‘}=0$, 则：
$$
1-x^{2} = 0 \Rightarrow
$$
$$
x = \pm 1.
$$
将 $x=1$ 带入 $\frac{1}{3} y^{3} + y =$ $x – \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3}$, 可得：
$$
\frac{1}{3} y^{3}(1) + y(1) = 1-\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{3} y^{3}(1) + y(1) = \frac{4}{3} \Rightarrow
$$
$$
y(1) = 1.
$$
将 $x=-1$ 带入 $\frac{1}{3} y^{3} + y =$ $x – \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3}$, 可得：
$$
\frac{1}{3} y^{3}(-1) + y(-1) = -1+\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{3} y^{3}(-1) + y(-1) = 0 \Rightarrow
$$
$$
y(-1) = 0.
$$
接着，将 $x=1$, $y(1) = 1$ 带入 $y^{”} =$ $\frac{-2x(1+y^{2}) – 2yy^{‘}(1-x^{2})}{(1+y^{2})^{2}}$, 可得：
$$
y^{”}(1) = \frac{-2(1+1)-0}{(1+1)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
y^{”}(1) = \frac{-4}{4} = -1 < 0.
$$
因此，当 $x=1$ 时，$y=y(x)$ 取得极大值，极大值为 $y(1)=1$.
同样的，将 $x=-1$, $y(-1) = 0$ 带入 $y^{”} =$ $\frac{-2x(1+y^{2}) – 2yy^{‘}(1-x^{2})}{(1+y^{2})^{2}}$, 可得：
$$
y^{”}(-1) = \frac{2(1+0)}{1^{2}} \Rightarrow
$$
$$
y^{”}(-1) = 2 > 0
$$
因此，当 $x=-1$ 时，$y=y(x)$ 取得极小值，极小值为 $y(-1)=0$.