考研数学一归档 - 第2页共10页 - 荒原之梦

判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法

一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0, 0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. 函数 y = |x| 的函数图象. — 图 01. 函数 $y$ $=$ $| x |$ 的函数图象.

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 02. 函数 y = \sqrt{|x|} 的函数图象. — 图 02. 函数 $y$ $=$ $\sqrt{| x |}$ 的函数图象.

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落圆法 ”，让同学们利用直观的几何性质理解“ 尖点 ”和“ 非尖点 ”的区别。

峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \to 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

矩估计原理的“峰式”图形化解释

一、前言

关于概率统计学科中的“矩估计”为什么能用于估计某种分布的未知参数，我们可以通过传统的数学语言，给出非常严格的说明，详细内容可以阅读「荒原之梦考研数学」的《矩估计详解》这篇文章。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过创造性的“峰式”图形化解释，将矩估计背后所依据的抽象原理具象化，为同学们理解和应用矩估计提供一种全新的视角。

极限什么时候需要区分正负，什么时候不需要区分正负？

一、前言

在高等数学的一些题目中（假设变量为 $x$ ），我们会遇到需要区分：
$⧫$ $x \to 0^{+}$ 和 $x \to 0^{-}$ ;
$⧫$ $x \to k^{+}$ 和 $x \to k^{-}$ ;
$⧫$ $x \to + \infty$ 和 $x \to - \infty$
的情况（其中 $k$ 为常数）。

以及不需要区分正负，只需要考虑：
$◼$ $x \to 0$ ;
$◼$ $x \to k$ ;
$◼$ $x \to \infty$
的情况。

那么，我们该怎么判度一个含有极限的极限式子是否需要考虑极限的正负呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过思路图和例题，为同学们讲清楚这个问题。

通过画图理解函数与数列之间相互嵌套复合后的敛散与单调性

一、前言

函数与数列具有很多相似的性质，例如敛散性和单调性等，但毕竟函数是一个基于“连续”的数学概念，而数列是一个基于“离散”的数学概念，所以，函数和数列之间也存在着诸多的区别。

那么，如果让函数和数列，通过嵌套复合的方式组成新的数列，则新数列的敛散性和单调性会呈现出来什么样的性质呢，我们该如何快速、形象又准确地判断出来这些性质呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用“ 峰式 ”解法和传统解法两种方法为同学们提供一些求解此类问题的全新思路，希望可以帮助同学们提升解决这类问题的速度并理清相关思路。

对“二阶嵌套分式”的一种快速变形定理

一、前言

在做数学题的时候，掌握一些计算技巧，可以帮助我们加快解题速度。在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学讲解一下形如下面这个“嵌套分式”的快速等价变形计算方法：

$\frac{a / b}{c / d}$

矩估计详解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解概率论和数理统计中重要的参数估计方法之一的矩估计，并利用习题来验证我们学到的矩估计方法。

一次性看懂期望和均值的联系与区别

一、前言

概率统计中的期望和均值是否相等？期望和均值之间存在着怎样的联系与区别？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解明白这一问题。

图解随机变量和样本观测值的联系与区别

一、前言

在概率统计中，随机变量和样本观测值（或“样本的特征值”）是两个相关但不相同的概念。但是，在学习的过程中，随机变量和样本的观测值一般都是用数字进行表示的，此时，稍不注意就可能忽略了其中存在的区别。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用图解的方式为同学们讲解清楚这两个概念之家的联系和区别。

对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目

$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \cos (β x) d x = ? \\ I_{2} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \sin (β x) d x = ? \end{aligned}$

其中， $α > 0$ .

峰式 (FENG Type) 图形法：直观地理解数列及数列的基本性质

一、前言

在高等数学中，我们一般会用 “ ${x_{n}}$ ” 或者 “ ${y_{n}}$ ” 表示数列，数列和函数有很多异同点，要想深入地理解数列，首先就要明白什么是数列，以及数列的敛散性。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用通俗易懂的解释，为同学们讲明白数列的那些事。

构成卡方分布的正态分布必须是标准正态分布且系数为 1

一、题目

已知 $ξ_{1}$ , $ξ_{2}$ , $\dots$ , $ξ_{8}$ 是来自标准正态分布的总体 $ξ \sim N (0, 1)$ 的容量为 $8$ 的简单随机样本，而 $η$ $=$ ${(ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3} + ξ_{4})}^{2}$ $+$ ${(ξ_{5} + ξ_{6} + ξ_{7} + ξ_{8})}^{2}$ .

试求常数 $k$ , 使得随机变量 $k η$ 服从 $χ^{2}$ 分布，同时指出 $χ^{2}$ 分布的自由度。

难度评级：

扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \to + \infty$ , 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k + 1)!} = ?$

难度评级：

“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。