线性代数练习题归档 - 第3页共17页

已知二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} - 2 x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ , 则 $a = ?$

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使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？

一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $A B$ 也为正定矩阵的充要条件是 $A B = B A$

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通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值

一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $| A + E | = 1$ , $A + 2 E = 1$ , $| A + 3 E | = 1$ , 则 $A + 4 E = ?$

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什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？

一、题目

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $A x = β$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{⊤} A$ 是正定矩阵。

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正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？

一、题目

已知， $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。

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不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵

一、题目

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？

A. $(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})$

C. $(\begin{array}{lll} 8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 2 & - 1 & 5 \end{array})$

B. $(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & - 6 \end{array})$

D. $(\begin{array}{lll} 5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array})$

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不可逆矩阵乘上一个可逆矩阵得不可逆矩阵

一、题目

已知矩阵 $A = (\begin{matrix} 0 & 2 & a \\ 1 & 0 & b \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})$ , 三维列向量 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性无关, 而 $A α_{1}$ , $A α_{2}$ , $A α_{3}$ 线性相关, 则参数 $a$ 和 $b$ 应满足什么关系?

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判断抽象矩阵的可逆性：矩阵越乘零越多

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3} + 2 A^{2} = O$ , 请判断矩阵 $A + E$ 的可逆性。

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不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $A$ 和 $B$ 相似的是哪个？

(A) $A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

(B) $A = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

(C) $A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

(D) $A = [\begin{array}{lll} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}]$

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无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目

已知 $A = [\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & - 5 \end{array}]$ , 若 $r (A) = 2$ , 则 $a = ?$

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单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远

一、题目

已知：

$A = [\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}]$

$B = [\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{array}]$

$P_{1} = [\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$P_{2} = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

则必有：

(A) $A P_{1} P_{2} = B$

(B) $A P_{2} P_{1} = B$

(D) $P_{2} P_{1} A = B$

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一、题目

解 题 思 路 简 图

一、题目

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一、题目

一、题目

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