已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$, 则：
$$
\boldsymbol{A}^{2n} = ?
$$
已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 则：
$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = ?
$$
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继续阅读“对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间”
在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？
在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。
继续阅读“基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略”在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。
那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。
继续阅读“投石问路：线性代数中的升阶法详解”已知：
$$
\begin{aligned}
D & = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \\ \\
D_{1} & = \begin{vmatrix}
2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\
2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\
2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
D_{1} = ?
$$
[A]. $2 D$
[C]. $2^{9} D$
[B]. $2^{3} D$
[D]. $2 \cdot 3 D$
已知 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$, $\boldsymbol{\alpha_{2}}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$（其中 $s \leqslant n$）是一组 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$
请证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。
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继续阅读“借助函数或数列的思想研究向量的变化过程”$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$
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继续阅读“计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪””已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：
$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$
请证明：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$
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继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”已知，有 $3$ 阶矩阵：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
b & a & a \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{bmatrix}
$$
若 $r \left( \boldsymbol {A}^{*} \right)$ $=$ $1$，则下列选项正确的是哪一个：
[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$
[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$
[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$
[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$
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继续阅读“题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件”已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$
则：
$$
\boldsymbol{B} = ?
$$
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继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”已知：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A B} = ?
$$
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继续阅读“利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤”$$
\begin{aligned}
& |\boldsymbol{K}| = \\ \\
& \begin{vmatrix}
1 & -2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -3 & 2 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 5 & 2 & 1 & -1 \\
7 & 3 & 5 & 9 & 2 & 0 \\
1 & 6 & 5 & -5 & 3 & 2 \\
\end{vmatrix} \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“行列式中的“消消乐””我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：
$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$
上面这个行列式的计算结果为：
$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$
但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。
在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。
继续阅读“范德蒙行列式“变体”行列式的计算”已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶方阵，且：
$$
\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{B} \left[ \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + 2 \boldsymbol{B} ^{\top} \boldsymbol{A} ^{\top} \right) ^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{A} = ?
$$
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继续阅读“矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵”