标签： 线性代数练习题

一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

则：

$$
\boldsymbol{B} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”

一、题目

难度评级：

继续阅读“利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤”

一、题目

难度评级：

继续阅读“行列式中的“消消乐””

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

继续阅读“范德蒙行列式“变体”行列式的计算”

一、题目

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵”

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{K}$ $=$ $\boldsymbol{A K}$ $+$ $\boldsymbol{B}$, 且：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
– 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & – 1 \\
2 & 0 \\
3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则 $\boldsymbol{K}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题”

一、题目

难度评级：

继续阅读“如何确定行列式展开式中有效项的个数？”

一、题目

难度评级：

继续阅读“看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性”

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

继续阅读“如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？”

一、前言

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$

那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。

继续阅读“用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律”

一、题目

[A]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $>$ $0$

[B]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $=$ $0$

[C]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $<$ $0$

[D]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $\leqslant$ $0$

难度评级：

继续阅读“当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零”

一、题目

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了”

一、题目

难度评级：

继续阅读“转置运算可以用来引入矩阵乘法”

一、前言

行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系？在本文中，荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。

继续阅读“行列式|A-B|和|B-A|有什么关系？”

一、题目

已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：

$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} ⁢= ?
$$

难度评级：

继续阅读“行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分””