标签： 线性代数练习题

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right]$, 若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零”

一、题目

已知：

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

则必有：

(A) $A \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{B}$

(B) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$

(C) $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

(D) $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

难度评级：

继续阅读“单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远”

一、题目

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下面不正确的运算是哪个？

(A) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

(B) $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$

(D) $(k \boldsymbol{A})^{*}=k \boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：

(A) $(3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=\frac{1}{3} \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$

(B) $(5 \boldsymbol{A B})^{-1}=5 \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(D) $(3 \boldsymbol{A}+5 \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=3 \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+5 \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

(B) $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$

(C) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$

(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$

难度评级：

继续阅读“注意命题推导的箭头“指向””

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆阵，则下列等式不成立的是哪个？

(A) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{E}+\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}$

(B) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A A}^{*}+\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}$

(D) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$

难度评级：

继续阅读“你知道转置矩阵和逆矩阵、伴随矩阵、单位矩阵的这一个区别吗？”

一、题目

已知 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则运算法则中错误的是哪个？

(A) $(A+B)+C=(C+B)+A$

(B) $(A B) C=A(B C)$

(C) $(A+B) C=A C+B C$

(D) $A(B+C)=B A + C A$

难度评级：

继续阅读“矩阵相乘一般不能交换”

一、题目

与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？”

一、题目

若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$, 若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“正定矩阵的特征值全部大于零”

一、题目

下面的矩阵中，正定矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“正定矩阵：各阶顺序主子式都大于零”

一、题目

已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a$的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“由二次型的规范型反推未知数”

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是哪个？

(A) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(B) $z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(C) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(D) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$

难度评级：

继续阅读“标准型是特征值，规范型是正负 1”

一、题目

若二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$, 在下列矩阵运算中, 得到二次型的是：

(A) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(B) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(C) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(D) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

难度评级：

继续阅读“写二次型矩阵的时候一定要将二次型中一次项的系数平分后写在矩阵主对角线两侧吗？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列命题中正确的有：

(1) $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$

(2) $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$

(3) $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$

(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的？”