单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远

一、题目

已知：

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

则必有：

(A) $A \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{B}$

(B) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$

(C) $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

(D) $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

难度评级：

二、解析

A 选项：

$$
A P_{1} P_{2} \Rightarrow (A P_{1}) P_{2} \Rightarrow
$$

即：交换矩阵 A 的第一列和第二列，再将此时的第三列加到第一列中，显然得到的不是矩阵 B.

B 选项：

$$
A P_{2} P_{1} \Rightarrow (A P_{2}) P_{1} \Rightarrow
$$

即：将矩阵 A 的第三列加到第一列，再将此时的第一列和第二列交换位置，显然得到的不是矩阵 B.

C 选项：

$$
P_{1} P_{2} A \Rightarrow P_{1} (P_{2} A) \Rightarrow
$$

即：将矩阵 A 的第一行加到第三行，再将此时的第二行和第一行交换位置，显然得到的是矩阵 B.

D 选项：

$$
P_{2} P_{1} A \Rightarrow P_{2} (P_{1} A) \Rightarrow
$$

即：将矩阵 A 的第一行和第二行交换位置，再将此时的第一行加到第三行，显然得到的不是矩阵 B.

综上可知，本题应选 C.

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