判断抽象矩阵的可逆性：矩阵越乘零越多

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3}+2 A^{2}=O$, 请判断矩阵 $A+E$ 的可逆性。

难度评级：

二、解析

方法一：做因式分解，找出对应的逆矩阵

$$
A^{3}+2 A^{2}=O \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{3}+2 A^{2}+E=E} \tag{1}
$$

用长除法做因式分解：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{array}{lr}
& A^{2} \ + A \ \ \ – E \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
A + E \! \! \! \! \! \! & \overline{)A ^ { 3 } + 2 A ^ { 2 } + 0 A + E} \\
& \underline{A^{3} + A^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& A^{2} + 0A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
& \underline{A^{2}+A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& -A + E \ \ \ \ \\
& \underline{ -A \ \ – \ E \ \ \ \ } \\
& 2E \ \ \ \ \ \end{array}
}
$$

于是：

$$
\frac{A^{3}+2 A^{2}+E}{A+E}=\left(A^{2}+A-E\right)+\frac{2 E}{(A+E)} \Rightarrow
$$

$$
(A+E)\left(A^{2}+A-E\right)+2 E=A^{3}+2 A^{2}+E \Rightarrow
$$

由 $(1)$ 式可知：

$$
(A+E)\left(A^{2}+A-E\right)+2 E=E \Rightarrow
$$

$$
(A+E)\left(A^{2}+A-E\right)=-E \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
(A+E)\left[-\left(A^{2}+A-E\right)\right]=E
} \tag{2}
$$

由于矩阵 $A + E$ 的逆矩阵为 $-(A^{2}+A-E)$, 因此，矩阵 $A+E$ 可逆。

Next

至于这里的矩阵 $A$ 和 矩阵 $A + E$ 到底是什么样的矩阵，可以参考本文中在接下来的“方法二”和“方法三”中给出的分析。

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方法二：由未知凑已知并分类讨论

首先，尝试对 $A^{3}+2 A^{2}=O$ 做变形：

$$
A^{2}(\textcolor{orangered}{ A+2 E })=O
$$

但是，经过上面的变形，得到的式子中包含的是 $\textcolor{orangered}{ A+2 E }$, 而不是未知量 $\textcolor{springgreen}{ A+E }$, 因此，上述思路可以先搁置。

既然由已知推未知不易推出，那么，我们就尝试由未知推已知：

$$
(A+E)^{2}=A^{2}+E+2 A \Rightarrow
$$

$$
A(A+E)^{2}=\textcolor{yellow}{ A^{3} } + A + \textcolor{yellow}{ 2 A^{2} } = A \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
A (A+E)^{2} = A
}
$$

进而，由《用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E》这篇文章中的结论可得：

$$
|A| (A+E)^{2} = |A| E
$$

于是，若 $|A| \neq 0$, 则：

$$
(A+E)^{2} = E \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
A + E = E \Rightarrow A = O \Rightarrow \text{ 与前提矛盾，舍去} \\
A + E = -E \Rightarrow A = -2E \Rightarrow \text{ 成立 }
\end{cases}
$$

若 $|A| = 0$, 则：

首先，为了使 $A^{3} + 2A^{2} = O$, 如果 $A^{3}$（可能包含为负数的元素）和 $2A^{2}$（只包含为正数或零的元素）想要在加法运算中抵消各自含有的非零元素，就需要 $A = -2E$, 但此时 $|A| \neq 0$, 因此，当 $|A| = 0$ 时，只能有（此时用特征值进行判断更方便，这里主要是为了提供另一种思路）：

$$
\begin{cases}
A^{3} = O \\
2A^{2} = O
\end{cases}
$$

由于矩阵 $A$ 可能是任意一个秩小于 $n$ 的矩阵，为了方便接下来的讨论，我们不妨假设 $n$ 是一个很大很大的数，其中 $j$ 行（或者列）中的元素是全为零的，且 $j < n$.

但是，只要 $n – j > 3$, 根据矩阵具有“越乘零越多”的趋势，我们不能保证在 $A$ 不可逆的情况下，$A^{3}$ 和 $2A^{2}$ 都是零矩阵，因此，为了保证 $n$ 为任意阶矩阵时 $A^{3} + 2A^{2} = O$ 都成立，此时，只能有：

$$
A = O
$$

当然，上面两种情况中得矩阵 $A$ 作为真正的矩阵 $A$ 的一个子式也是满足条件的，例如，以下的矩阵 $A$ 都能使 $A^{3} + 2A^{2} = O$ 成立：

$$
\begin{cases}
& A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{cases}
$$

综上可知，矩阵 $A+E$ 一定是可逆矩阵。

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方法三：判断是否包含为零的特征值

$$
A^{3}+2 A=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{3}+2 \lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}(\lambda+2)=0 \Rightarrow
$$

于是可知，矩阵 $A$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
& \lambda_{1}=0 \\
& \lambda_{2}=0 \\
& \lambda_{3}=-2
\end{cases}
$$

因此，$A+E$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
& \mu_{1}=1 \neq 0 \\
& \mu_{2}=1 \neq 0 \\
& \mu_{3}=-1 \neq 0
\end{cases}
$$

于是可知：

$$
|A+E| \neq 0
$$

因此，矩阵 $A+E$ 可逆。

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