线性代数基础 – 第 14 页

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $k \boldsymbol{A}$ 是否可逆？（C010）

问题

已知 $k$ 为常数且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质，若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆，则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 可逆，则 $\textcolor{orange}{k \boldsymbol{A}}$ 也可逆

$\boldsymbol{A}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{A}$ 的关系（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $- \boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}^{\textcolor{orange}{-1}}\right)^{\textcolor{cyan}{-1}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$

若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A^{-1}}}$ 是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A^{-1}}$ 也可逆

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的特征值（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $1$

[B]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

[C]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为负数

[D]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值中不含有数字 $0$

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值中含有数字 $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的向量组（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 的向量组满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关

[B]. $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性相关

[C]. $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关，行向量线性相关

[D]. $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关，行向量线性无关

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性相关

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

[B]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有零解

[C]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

[D]. $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 无解

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$r(\boldsymbol{A})$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $n$

[B]. $r(\boldsymbol{A})$ $>$ $1$

[C]. $r(\boldsymbol{A})$ $>$ $n$

[D]. $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充要条件：$|\boldsymbol{A}|$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $1$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $0$

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的特征值（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\boldsymbol{A}$ 的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值都为正数

[B]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值不都为 $0$

[C]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 $0$

[D]. $\boldsymbol{A}$ 的特征值不都为负数

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 $0$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 的向量组（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 方阵，则当 $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关时，是否可以判断出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$b$ 为常数，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{b}}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有两个不同的解

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有唯一解

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 只有零解

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 无解

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有唯一解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $0$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{x}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{0}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 无实数解

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有非零解

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 有非零解

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则当 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 之间满足如下什么关系时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A^{*}}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价

[B]. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 不等价

[C]. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{E}|$

答案

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价