标签： 高等数学练习题

一、题目

求解下面这个函数零点的个数：

$$f(x)=3\ln x–x$$

难度评级：

继续阅读“在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！”

一、题目

已知 $\sin x\ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=?$

难度评级：

继续阅读“题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！”

一、题目

已知函数 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x({\int }_0^{u^2}\ln (1+t^2)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u$, 则曲线 $y=F(x)$ 在其定义域上的凹凸性如何？

难度评级：

继续阅读“你会解这个“双层”的变限积分求导题吗”

一、题目

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{2x}^{\ln x}\ln (1+t)\mathrm{d}t=$$

难度评级：

继续阅读“做对这道题就理解变限积分的计算方式了”

一、题目

$$I={\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“求解三角函数积分：能合并的先合并”

一、题目

将累次积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$ 写成直角坐标系下的形式。

难度评级：

继续阅读“极坐标方程转直角坐标方程的核心：构造平方”

一、题目

将极坐标系 $(r,\theta )$ 中的累次积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r$ 转化为直角坐标系 $(x,y)$ 中的累次积分。

难度评级：

继续阅读“极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$”

一、题目

已知 $D$ 是 $xOy$ 平面上以 $(1,1)(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 ${\iint }_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}\sigma$ 等于多少？

难度评级：

继续阅读“使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题”

一、题目

累次积分 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_0^{2-y}f(x,y)\mathrm{d}x$ 还可写成什么形式？

难度评级：

继续阅读“一道很基础的累次积分“变形”题”

一、题目

已知 $f^{\prime }(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime }(0)$ 存在, 求极限：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^3}=?$$

难度评级：

继续阅读“拉格朗日显神威：求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^4+ax+b}{(x-1)(x+2)},& x\ne 1,x\ne -2,\\ 2,& x=1,\end{array}$

且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a,b)=?$

难度评级：

继续阅读“在无穷量存在的式子中代入极限值的时候，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}(x-\sin x\cos x\cos 2x)=?$$

难度评级：

继续阅读“对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入，通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入”

一、题目

已知 $a$, $b$ 为常数, $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{a}{x^2})$ $=$ $b$, 则 $(a,b)=?$

难度评级：

继续阅读“整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=?$$

难度评级：

继续阅读“极限的“段位”也有高低：有些极限需要分“段”讨论”

一、题目

已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 为正数 $(m⩾2)$, 则：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n)}^{\frac{1}{n}}=?$$

难度评级：

继续阅读“特例法一般只能用在选择题中：因为特例只能得到正确答案的一部分”