一、题目
将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分。
难度评级：
继续阅读“极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$”标签： 高等数学练习题
使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题
一、题目
已知 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1)(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于多少？
难度评级：
继续阅读“使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题”一道很基础的累次积分“变形”题
一、题目
累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 还可写成什么形式？
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继续阅读“一道很基础的累次积分“变形”题”拉格朗日显神威：求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目
一、题目
已知 $f^{\prime}(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 求极限：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“拉格朗日显神威：求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目”在无穷量存在的式子中代入极限值的时候，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}, & x \neq 1, x \neq-2, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$
且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a, b) = ?$
难度评级：
继续阅读“在无穷量存在的式子中代入极限值的时候，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值”对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入，通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x-\sin x \cos x \cos 2 x) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入，通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入”整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子
一、题目
已知 $a$, $b$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{3}}+\frac{a}{x^{2}}\right)$ $=$ $b$, 则 $(a, b) = ?$
难度评级：
继续阅读“整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子”极限的“段位”也有高低：有些极限需要分“段”讨论
一、题目
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“极限的“段位”也有高低：有些极限需要分“段”讨论”特例法一般只能用在选择题中：因为特例只能得到正确答案的一部分
一、题目
已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 为正数 $(m \geqslant 2)$, 则：
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“特例法一般只能用在选择题中：因为特例只能得到正确答案的一部分”往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形
一、题目
求解数列极限：
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形”如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？
一、题目
已知：
$$
x_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(1+2+\cdots+k)}\right)^{n}
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？”不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-(\sin x)^{x}}{x^{2} \arctan x} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式”不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right]=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小”取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{2 x}}{1+x^{2}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法”不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理
一、题目
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理”