已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有二阶连续导数, 函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} u$ $=$ $y\left[\mathrm{e}^{x}+\right.$ $\left.f^{\prime}(x)\right] \mathrm{~d} x$ $+$ $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} y$, 且 $f(0)$ $=$ $f^{\prime}(0)$ $=$ $1$.
(I) 求 $f(x)$;
(II) 求 $f(x)$ 的单调区间与极值.
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继续阅读“混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续”已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$
A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$
B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$
C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$
D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$
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继续阅读“在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数”若方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？
(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$
(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$
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继续阅读“对题目的等价转化往往就是解题的突破口”已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？
(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在
(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
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继续阅读“一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己””请问，$x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？
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继续阅读“解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度”已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点
(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点
(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点
(D). 以上说法都不对
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继续阅读“遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式”已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.
则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )
(A). $\sin x^{2}$
(B). $\sin x$
(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$
(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$
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继续阅读“微分方程和洛必达运算的结合”已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$
都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（ ）
(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$
(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$
(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$
(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$
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继续阅读“阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大”已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$
(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$
(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
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继续阅读“分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法”$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )
(A). $k \neq 1$
(B). $k>1$
(C). $k>0$
(D). 与 $k$ 无关
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继续阅读“能用等号连接的条件就是“充要”条件”已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $a=1$, $b=1$
(B). $a=-1$, $b=-1$
(C). $a=1$, $b=-1$
(D). $a=-1$, $b=1$
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继续阅读“为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式”当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ）
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
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继续阅读“0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在”
利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$，且有如下说法：
① 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
② 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
③ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
④ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
则上面的说法中，正确的是哪些？
(A). ① ②
(C). ① ③
(B). ③ ④
(D). ② ④
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继续阅读“对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定”$I$ $=$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \sigma \int_{0}^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r$ $=$ $?$
(A) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{0}^{1} f\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(B) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{1}^{x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(C) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(r) r \mathrm{~d} \sigma$ $+$ $\int_{1}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f(r) r$ $\mathrm{~d} \sigma$
(D) $\int_{0}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{dr}$ $\int_{\arcsin \frac{1}{\mathrm{r}}}^{\frac{\pi}{4}}$ $f(\mathrm{r})$ $\mathrm{~d} \sigma$
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继续阅读“极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算”