高等数学基础归档 - 第55页共56页

问题

下面任意【扇形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中， $S$ 表示扇形的面积， $r$ 表示扇形的半径， $l$ 表示扇形的弧长， $θ$ 表示扇形的夹角.

选项

[A].

S =

\frac{1}{2} r l =

\frac{1}{2} r θ^{2}

[B].

S =

\frac{1}{3} r l =

\frac{1}{2} r^{2} θ

[C].

S =

\frac{1}{2} r l =

\frac{1}{2} r θ

[D].

S =

\frac{1}{2} r l =

\frac{1}{2} r^{2} θ

答案

$S =$ $\frac{1}{2} r l =$ $\frac{1}{2} r^{2} θ$

问题

下面任意【平行四边形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中， $S$ 表示平行四边形的面积， $a$ , $b$ 为平行四边形的边长， $h$ 为平行四边形的高， $\sin φ =$ $\frac{h}{a}$ .

选项

[A].

S =

a b =

b \cdot a \sin φ

[B].

S =

b h =

b \cdot h \sin φ

[C].

S =

b h =

b \cdot a \sin φ

[D].

S =

b h =

b \cdot a \cos φ

答案

$S =$ $b h =$ $b \cdot a \sin φ$

问题

下面任意【三角形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中， $S$ 表示三角形的面积， $a$ , $b$ , $c$ 为三角形的边长， $h$ 为三角形的高， $\sin C =$ $\frac{h}{a}$ .

选项

[A].

S =

\frac{1}{2} b h =

\frac{1}{2} b \cdot a \sin A

[B].

S =

\frac{1}{2} a h =

\frac{1}{2} b \cdot a \sin C

[C].

S =

\frac{1}{2} b h =

\frac{1}{2} b \cdot a \sin C

[D].

S =

\frac{1}{2} a b =

\frac{1}{2} b \cdot a \sin C

答案

$S =$ $\frac{1}{2} b h =$ $\frac{1}{2} b \cdot a \sin C$

问题

下面的【球体体积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为球体的半径， $V$ 为球体的体积.

选项

[A].

V =

\frac{4}{3} π R^{2}

[B].

V =

\frac{1}{3} π R^{3}

[C].

V =

\frac{4}{3} π R^{3}

[D].

V =

\frac{3}{4} π R^{3}

答案

$V =$ $\frac{4}{3} π R^{3}$

问题

下面的【球体全面积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为球体的半径， $S_{全}$ 为球体的全面积.

选项

[A].

S_{全} =

2 π R^{3}

[B].

S_{全} =

4 π R^{3}

[C].

S_{全} =

2 π R^{2}

[D].

S_{全} =

4 π R^{2}

答案

$S_{全} =$ $4 π R^{2}$

问题

下面的【圆锥体体积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆锥体底圆的半径， $H$ 为圆锥体的高， $V$ 为圆锥体的体积.

选项

[A].

V =

\frac{1}{3} π R^{3} H

[B].

V =

\frac{1}{3} π R H

[C].

V =

\frac{1}{3} π R^{2} H

[D].

V =

\frac{1}{2} π R^{2} H

答案

$V =$ $\frac{1}{3} π R^{2} H$

问题

下面的【圆柱体全面积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆锥体底圆的半径， $S_{全}$ 为圆锥体的侧面积， $l$ 为圆锥体的母线，且 $l =$ $\sqrt{R^{2} + H^{2}}$ .

选项

[A].

S_{全} =

π R l +

π R^{2} l

[B].

S_{全} =

π R l +

2 π R

[C].

S_{全} =

2 π R l +

π R^{2}

[D].

S_{全} =

π R l +

π R^{2}

答案

$S_{全} =$ $π R l +$ $π R^{2}$

问题

下面的【圆柱体侧面积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆锥体底圆的半径， $S_{侧}$ 为圆锥体的侧面积， $l$ 为圆锥体的母线，且 $l =$ $\sqrt{R^{2} + H^{2}}$ .

选项

[A].

S_{侧} =

π R^{2} l

[B].

S_{侧} =

π R l^{2}

[C].

S_{侧} =

2 π R l

[D].

S_{侧} =

π R l

答案

$S_{侧} =$ $π R l$

问题

下面的【圆柱体体积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆柱体底圆的半径， $H$ 为圆柱体的高， $V$ 为圆柱体的体积

选项

[A].

V =

π R H^{2}

[B].

V =

2 π R^{2} H

[C].

V =

π R^{3} H

[D].

V =

π R^{2} H

答案

$V =$ $π R^{2} H$

问题

下面的【圆柱体全面积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆柱体底圆的半径， $H$ 为圆柱体的高， $S_{全}$ 为圆柱体的全面积

选项

[A].

S_{全} =

2 π R H +

π R^{2}

[B].

S_{全} =

2 π R^{2} H +

2 π R^{2}

[C].

S_{全} =

2 π R H +

2 π R

[D].

S_{全} =

2 π R H +

2 π R^{2}

答案

$S_{全} =$ $2 π R H +$ $2 π R^{2}$

问题

下面的【圆柱体侧面积】公式中，正确的是哪个？

设 $R$ 为圆柱体底圆的半径， $H$ 为圆柱体的高， $S_{侧}$ 为圆柱体的侧面积

选项

[A].

S_{侧} = \frac{1}{2} \cdot π R \cdot H

[B].

S_{侧} = π R^{2} \cdot H

[C].

S_{侧} = 2 π R^{2} \cdot H

[D].

S_{侧} = 2 π R \cdot H

答案

$S_{侧} = 2 π R \cdot H$

$y + 1$ 或 $x + 1$ 的积分怎么算？

根据不同的计算思路， $\int (y + 1) d y$ 或 $\int (x + 1) d x$ 会呈现出两种看上去“不同”的计算结果，本文将以 $\int (y + 1) d y$ 为例，对这一现象进行分析。

对 $y + 1$ 进行积分的具体应用案例，可以参考：《2015年考研数二第17题解析》

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一、题目

设 $a_{1}$ $=$ $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{matrix}]$ , $a_{2}$ $=$ $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{matrix}]$ , $a_{3}$ $=$ $[\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ c_{3} \end{matrix}]$ , $a_{4}$ $=$ $[\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ c_{4} \end{matrix}]$ , 其中 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) $a_{1}, a_{2}, a_{3} .$

( B ) $a_{1}, a_{2}, a_{4} .$

( C ) $a_{1}, a_{3}, a_{4} .$

( D ) $a_{2}, a_{3}, a_{4} .$

二、解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}$ 线性相关的结论中，有这样一个结论：

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1}, a_{2}$ , $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $| a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} | = 0.$

上面的结论中提到了 “ $n$ 维向量”, 其实 “ $n$ 维向量” 是两种向量的合称，第一种叫 “ $n$ 维列向量”，即 $n$ 行 $1$ 列，形如：

$a = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}] .$
第二种叫 “ $n$ 维行向量”，即 $1$ 行 $n$ 列，形如：

$b = [\begin{matrix} b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n} \end{matrix}] .$
观察可知，题目中给出的是 $3$ 维列向量，选项中给出的向量的排布组合方式是横向的，因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组，符合使用上述有关结论的条件。

此外，为了方便计算，这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法，如下：
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算：

$[\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ_{1} & ⋆ & ⋆ \\ 0 & λ_{2} & ⋆ \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ ⋆ & λ_{2} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & λ_{3} \end{matrix}] = λ_{1} \times λ_{2} \times λ_{3} .$

注：上述公式中 $⋆$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算：

$[\begin{matrix} 0 & 0 & λ_{1} \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ λ_{3} & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} ⋆ & ⋆ & λ_{1} \\ ⋆ & λ_{2} & 0 \\ λ_{3} & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & λ_{1} \\ 0 & λ_{2} & ⋆ \\ λ_{3} & ⋆ & ⋆ \end{matrix}] = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} \times λ_{1} \times λ_{2} \times λ_{3} .$

注：上述公式中 $⋆$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项：

$| \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{3 \times 2}{2}} \times 1 \times 1 \times c_{1} = - c_{1} .$

当 $- c_{1} \neq 0$ 时， $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的线性相关不成立。

B 项：

$| \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ c_{1} & c_{2} & c_{4} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{3 \times 2}{2}} \times (- 1) \times 1 \times c_{1} = c_{1} .$
当 $c_{1} \neq 0$ 时， $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 的线性相关不成立。

C 项：

$| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ c_{1} & c_{3} & c_{4} \end{matrix} | = c_{1} - c_{1} = 0, 恒成立 .$

$a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项：

$| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} \end{matrix} | = c_{2} - c_{3} - c_{2} - c_{4} = - c_{3} - c_{4} .$

当 $- c_{3} - c_{4} \neq 0$ 时， $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的线性相关不成立。

综上可知，本题的正确选项是：C

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$ , $B$ 为随机事件，若 $0$ $<$ $P (A)$ $<$ $1$ , $0$ $<$ $P (B)$ $<$ $1$ , 则 $P (A | B)$ $>$ $P (A | \bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P (B | A)$ $>$ $P (B | \bar{A})$ .

( B ) $P (B | A)$ $<$ $P (B | \bar{A})$ .

( C ) $P (\bar{B} | A)$ $>$ $P (B | \bar{A})$ .

( D ) $P (\bar{B} | A)$ $<$ $p (B | \bar{A})$ .

二、解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道，如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\to$ $B$ 且 $B$ $\to$ $A$ .

但是，如果满足以下情况，也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件：

设有事件 $A$ , $B$ , $C$ , 当存在以下情况：

$A$ $\to$ $C$ 且 $C$ $\to$ $A$ 且 $B$ $\to$ $C$ 且 $C$ $\to$ $B$ , 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

对于本题而言，直接把题目中所给的形式 $P (A | B)$ $>$ $P (A | \bar{B})$ 转换成选项中所给的形式，以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式，可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式，之后再化简选项中所给的形式，由于化简过程中都是全程使用的等价符号，因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的，如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样，则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简，根据条件概率的公式，我们有：

$P (A | B)$ $>$ $P (A | \bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P (A B)}{P (B)}$ $>$ $\frac{P (A \bar{B})}{P (\bar{B})}$ .

又因为：

$P (A \bar{B})$ $=$ $P [A (1 - B)]$ $=$ $P (A - A B)$ $=$ $P (A)$ $-$ $P (A A B)$ $=$ $P (A)$ $-$ $P (A B)$ .

所以有：

原式 $\Rightarrow$ $\frac{P (A B)}{P (B)}$ $>$ $\frac{P (A) - P (A B)}{1 - P (B)}$ $\Rightarrow$ $P (A B) [1 - P (B)]$ $>$ $P (B) [P (A) - P (A B)]$ $\Rightarrow$ $P (A B)$ $-$ $P (A B) P (B)$ $>$ $P (B) P (A)$ $-$ $P (B) P (A B)$ $\Rightarrow$ $P (A B)$ $>$ $P (A) P (B)$ .

接下来，通过观察题目我们知道， $A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号， $C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此，我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 $A$ 选项进行化简：

$P (B | A)$ $>$ $P (B | \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P (A B)}{P (A)}$ $>$ $\frac{P (\bar{A} B)}{P (\bar{A})}$ .

又因为：

$P (\bar{A} B)$ $=$ $P [(1 - A) B]$ $=$ $P (B - A B)$ $=$ $P (B)$ $-$ $P (A B B)$ $=$ $P (B)$ $-$ $P (A B)$ .

所以有：

$\frac{P (A B)}{P (A)}$ $>$ $\frac{P (B) - P (A B)}{1 - P (A)}$ $\Rightarrow$ $P (A B) [1 - P (A)]$ $>$ $P (A) [P (B)$ $-$ $P (A B)]$ $\Rightarrow$ $P (A B)$ $-$ $P (A B) P (A)$ $>$ $P (A) P (B)$ $-$ $P (A) P (A B)$ $\Rightarrow$ $P (A B)$ $>$ $P (A) P (B)$ .

由此，我们知道， $A$ 选项对， $B$ 选项错。

为了保险起见，我们可以在对 $C$ 选项做一个计算：

$P (\bar{B} | A)$ $>$ $P (B | \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P (A \bar{B})}{P (A)}$ $>$ $\frac{P (\bar{A} B)}{P (\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P (A \bar{B}) P (\bar{A})$ $>$ $P (\bar{A} B) P (A)$ .

又因为：

$P (A \bar{B})$ $=$ $P (A)$ $-$ $P (A B)$ ;

$P (\bar{A} B)$ $=$ $P (B)$ $-$ $P (A B)$ .

所以有：

$[P (A)$ $-$ $P (A B)] [1 - P (A)]$ $>$ $[P (B)$ $-$ $P (A B)] P (A)$ $\Rightarrow$ $P (A)$ $-$ $P (A) P (A)$ $-$ $P (A B)$ $+$ $P (A B) P (A)$ $>$ $P (B) P (A)$ $-$ $P (A B) P (A)$ $⇏$ $P (A B)$ $>$ $P (A) P (B)$ .

因此，可以知道，选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。

综上可知，正确选项是： $A$ .

EOF

充分条件必要条件和充要条件(图文解析)

一、充分条件

若由 $A$ 能够推导出 $B$ , 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$ , 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（ $B$ 的充分不必要条件是 $A$ .）。

从集合的角度看，就是 $A \in B$ , 如图 1：

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